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Primzahl

Primzahl

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei verschiedenen natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich selbst. Die Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, … Die fundamentale Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf den folgenden drei Konsequenzen aus dieser Definition:
- Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als eins sind, darstellen.
- Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch sie teilbar.
- Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden. Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Bereits die antiken Griechen interessierten sich für die Primzahlen und entdeckten einige ihrer Eigenschaften. Obwohl sie über die Jahrhunderte stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind bis heute viele die Primzahlen betreffende Fragen ungeklärt. Über zweitausend Jahre lang wusste man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen zu ziehen. Dies änderte sich erst mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, wo die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.

Die kleinsten Primzahlen

Die kleinsten Primzahlen sind : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, ... : Die Zahl 4 ist die kleinste zusammengesetzte Zahl: Sie hat genau drei positive Teiler (1, 2, 4). Die Zahl 6 ist die nächstgrößere zusammengesetzte Zahl; sie besitzt vier positive Teiler (1, 2, 3, 6). Die Liste der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ... :

Praktische Anwendung

Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der Kryptographie: Viele Verschlüsselungssysteme, beispielsweise RSA, basieren darauf, dass man zwar sehr schnell große Primzahlen multiplizieren kann, andererseits aber kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt ist und allem Anschein nach auch nicht existiert. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 1000-stelligen Produkt dagegen Millionen von Jahren benötigen.

Primfaktorzerlegung

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (siehe Primfaktorzerlegung). Die in dieser Darstellung auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl. Die Schwierigkeiten bei der Primfaktorzerlegung bezeichnet man als Faktorisierungsprobleme. Man versucht sie mit geeigneten Faktorisierungsverfahren zu minimieren. Aufgrund dieses Satzes, also daß sich jede natürliche Zahl durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen läßt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein. Alexander K. Dewdney bezeichnete diese als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.

Eigenschaften von Primzahlen

Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen p ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form 2k+1 mit einer natürlichen Zahl k.

Primzahlen der Form 4k + 1 bzw. 4k + 3

Jede Primzahl p>2 hat die Form 4k+1 oder 4k+3 mit einer nichtnegativen ganzen Zahl k. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es unendlich viele Primzahlen jeder der beiden Arten. Jede natürliche Zahl der Form 4m+3 mit einer nichtnegativen ganzen Zahl m enthält mindestens einen Primfaktor der Form 4k+3. Eine Primzahl p>2 lässt sich genau dann in der Form a^2+b^2 mit ganzen Zahlen a,b schreiben, wenn p die Form 4k+1 hat. In diesem Fall ist die Darstellung im wesentlichen eindeutig, d.h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von a,b. Diese Darstellung entspricht der Primfaktorzerlegung : p=(a+b\mathrm i)(a-b\mathrm i) im Ring der ganzen gaußschen Zahlen.

Primzahlen der Form 6k ± 1

Jede Primzahl p > 3 hat die Form p=6k\pm1 mit einer natürlichen Zahl k. Anders ausgedrückt: Es gilt : p \equiv 1 \pmod 6 oder p \equiv -1 \pmod 6 (für die Notation siehe Kongruenz (Zahlentheorie)).

Der kleine Satz von Fermat

Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl a mit 0< a < p gilt: : oder Es gibt auch Zahlen, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch, zu einem Teil der Basen a, wie Primzahlen verhalten und somit den kleinen Satz von Fermat erfüllen. Solche Nichtprimzahlen nennt man fermatsche Pseudoprimzahlen. Pseudoprimzahlen, die pseudoprim zu allen Basen a sind, welche nicht Teiler dieser Pseudoprimzahlen sind, nennt man Carmichael-Zahlen. Besonders in diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik von Pseudoprimzahlen: sie werden von Algorithmen, die den kleinen Satz von Fermat nutzen, um festzustellen ob eine bestimmte Zahl prim ist, fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren Primzahltests verwendet werden, die mit einer sehr hohen Wahrscheinlichkeit Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen unterscheiden können. Diese Wahrscheinlichkeit ist bei Verwendung des kleinen Satzes von Fermat als Basis allein nicht hoch genug, es gibt aber sicherere Primzahltests.

Euler

Eine einfache Folge aus dem kleinen Satz von Fermat ist die folgende Aussage: Für jede ungerade Primzahl p und jede natürliche Zahl a mit 2 \le a < p zutrifft, gilt entweder : a^ \equiv 1 \mod p oder : a^ \equiv -1 \mod p.

Binomialkoeffizient

Aus dem Satz von Wilson (p ist genau dann eine Primzahl, wenn (p-1)! \equiv -1 \pmod p ist) folgt, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n die Kongruenz : \equiv 1 \pmod erfüllt ist. Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p > 2 diese Kongruenz gilt: : \equiv 1 \pmod Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p > 3 die folgende Kongruenz gilt: : \equiv 1 \pmod

Giuga

Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl p gilt: Beispiel p = 5: : 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 = 1 + 16 + 81 + 256 = 354 = 71\cdot 5 - 1\equiv -1 \pmod Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben müsste. Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht.

Perrin-Folge

Für jede Primzahl p gilt, dass sie das Glied P(p) der Perrin-Folge teilt.

Lucas-Folge

Eine ähnliche Eigenschaft, wie die zur Perrin-Folge, existiert auch zur Lucas-Folge. Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt: : L_p \equiv 1 \mod p oder einfacher ausgedrückt: : (Lp - 1) läßt sich durch p teilen, wenn p eine Primzahl ist.

Weiteres

Zwei natürliche Zahlen, deren Summe eine Primzahl ergeben, sind immer teilerfremd. Insbesondere ist jede Kombination zweier positiver natürlicher Zahlen, in die sich eine Primzahl additiv zerlegen lässt, teilerfremd.

Verfahren zur Prüfung der Primalität einer Zahl

Wenn man wissen möchte, ob eine Zahl eine Primzahl ist, dann hat man dafür verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung, die als Grundlage meist eine der oben genannten Eigenschaften haben. Das bekannteste und älteste ist wohl das Sieb des Eratosthenes. In der Praxis am häufigsten wird der Miller-Rabin-Test verwendet, der eine extrem schnelle Laufzeit hat, allerdings mit kleiner Wahrscheinlichkeit daneben liegen kann. Für Aufsehen hat in den letzten Jahren der AKS-Primzahltest gesorgt, der beweist, dass es möglich ist, Zahlen in polynomialer Laufzeit zu testen (Primes is in P), allerdings in der Praxis deutlich langsamer ist als der Miller-Rabin-Test. Diese Verfahren und weitere Varianten sind unter Primzahltest genauer beschrieben.

Größte bekannte Primzahl

Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus festgestellt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes: Geht man von der Annahme aus, dass nur endlich viele Primzahlen existieren, so folgt daraus die Existenz einer weiteren Primzahl, was einen logischen Widerspruch zur Annahme darstellt. Folglich ist die Annahme falsch, und es gibt unendlich viele Primzahlen. Heute kennt man eine ganze Reihe von Beweisen für den Satz von Euklid. Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert, so dass es stets eine größte bekannte Primzahl gab, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit ist es 2^-1, eine Zahl mit 7.816.230 (dezimalen) Stellen, gefunden am 18. Februar 2005, nach 50 Tagen Rechenzeit auf einem 2,4 GHz Rechner, von Dr. Martin Nowak im Rahmen des George Woltmans GIMPS-Projekts zur Suche von Mersenne-Primzahlen. Für den ersten Primzahlbeweis einer Zahl mit mehr als 10 Millionen Dezimalstellen hat die Electronic Frontier Foundation einen Preis von 100.000 US-Dollar ausgeschrieben. Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form 2^n-1, da in diesem Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen diesen oder eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht. Man weiß, dass zwischen der größten und der zweitgrößten bekannten Primzahl (nämlich 2^-1) mehr als 10^ weitere, unbekannte Primzahlen liegen. Die genaue Identifikation solcher Primzahlen erfreut sich aber eines vergleichsweise geringen Interesses, da sie ungleich aufwändiger ist als beispielsweise das Auffinden einer noch größeren Mersenne-Primzahl.

Verteilung der Primzahlen

Man hat sich natürlich auch Gedanken darüber gemacht, wie viele Primzahlen es in einem begrenzten Bereich von 1 bis beispielsweise 1.000.000 gibt. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert. Die Funktion für die Verteilung ist \pi(x), wobei die Anzahl der Primzahlen bis zur Grenze x zurückgeliefert wird. Beispiel: : \pi(10) = 4\ ;\ \pi(100) = 25\ ;\ \pi(1000) = 168 Verschiedene Mathematiker haben sich nun daran gemacht, Funktionen zu finden, die sich \pi(x) annähern. Der Primzahlsatz besagt, dass : \pi(x) \sim \frac gilt, d.h. dass der Quotient von linker und rechter Seite für x\to\infty gegen 1 strebt. Der dirichletsche Primzahlsatz dagegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Es sei m eine natürliche Zahl. Ist a eine ganze Zahl, die zu m nicht teilerfremd ist, so kann die arithmetische Folge : a,a+m,a+2m,a+3m,\ldots höchstens eine Primzahl enthalten, weil alle Folgenglieder durch den größten gemeinsamen Teiler von a und m teilbar sind. Ist a aber teilerfremd zu m, so besagt der dirichletsche Primzahlsatz, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Beispielsweise gibt es unendlich viele Primzahlen der Form 4k+1 und unendlich viele der Form 4k+3 (k durchläuft jeweils die nichtnegativen natürlichen Zahlen). Diese Aussage kann noch in der folgenden Form präzisiert werden: Es gilt : \lim_\frac=\frac1; dabei ist \phi(m) die eulersche φ-Funktion. In diesem Sinne liegen also für ein festes m in den Restklassen a+m\mathbb Z mit \mathrm(a,m)=1 jeweils "gleich viele" Primzahlen. Siehe auch: Ulam-Spirale

Formeln zur Generierung von Primzahlen

Man kennt keine Formel p(n), die beim Einsetzen von n die n-te Primzahl zurückliefert. Es gibt allerdings Formeln, bei denen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass die erzeugten Zahlen eine Primzahl sein könnten. Nichtsdestotrotz müssen die erzeugten Zahlen auf ihre Eigenschaft als Primzahl getestet werden. Schon Euler gab die Formeln n^2+n+17 und n^2-n+41 an, die für 0 < n < 16 bzw. 0 < n < 41 Primzahlen liefern. Auch für größere Werte von n liefern die beiden Formeln viele Primzahlen, weil das Ergebnis nie durch Primzahlen p < 17 bzw. p < 41 ganzzahlig teilbar ist. Allgemein gibt es viele solche Formeln an^2+bn+c, wodurch sich die auffällige Ulam-Spirale erklärt. Die beliebteste ist die der Mersenne-Zahl M_n = 2^n-1 bei der M_n eine Primzahl ist. Auch bekannt ist eine Anwendung des Satzes von Euklid, bei der auf das Primorial eine 1 aufaddiert wird: :p\# + 1 = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1 Hierbei werden alle aufeinanderfolgenden Primzahlen von 2 bis p_n=p miteinander multipliziert.

Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen


- n! - 1 ist prim für n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, ... ()
- n! + 1 ist prim für n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154 ... ()
- p\# + 1 ist prim für p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, ... ()
- Primzahlen der Form kgV(1,...,n)+1 sind: 2, 3, 7, 13, 61, 421, 2521, 232792561, ... ()
- Primzahlzwillinge
- Primzahlquadruplet
- Primzahlsextuplet
- Mersenne-Primzahlen
- Fermatsche Primzahlen
- Wall-Sun-Sun-Primzahlen
- Wilson-Primzahlen
- Wolstenholme-Primzahlen
- Wieferich-Primzahlen
- Cullen- und Woodall-Zahlen
- Sophie-Germain-Primzahlen
- Cunningham-Ketten
- Illegale Primzahlen
- Mirpzahlen
- Primzahlpalindrome
- Prothsche Primzahlen
- glückliche Primzahlen
- fröhliche Primzahlen

Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?

Die einfachste Antwort auf die Frage, warum die 1 keine Primzahl ist, zitiert die Definition:
- Eine natürliche Zahl wird dann Primzahl genannt, wenn sie genau zwei natürliche Teiler hat.
Die Zahl 1 hat nur einen natürlichen Teiler (die 1). Deshalb ist sie per Definition keine Primzahl. Die folgenden Antworten gehen auf den Zweck dieser Definition ein:
- Damit man eine eindeutige Primfaktorzerlegung bekommt (man hätte sonst beliebig viele 1-Faktoren mit drin).
- Weil 1 eine Einheit ist (siehe den Artikel Primelement).
- Weil man ansonsten bei nahezu allen Aussagen über Primzahlen schreiben müsste: „Für alle Primzahlen mit Ausnahme der 1 gilt...“. Beispielsweise in der Theorie der endlichen Körper. Ein mathematisches System ist letztendlich willkürlich aus einer unendlichen Anzahl von möglichen Systemen ausgewählt. Seine Relevanz erhält es dadurch, ob es nicht-triviale Eigenschaften hat. Man erzeugt zwei verschiedene Systeme, wobei im ersten 1 eine Primzahl ist, und im zweiten nicht, und stellt dabei fest, dass das erste System sehr langweilig ist, und das zweite (in dem die 1 keine Primzahl ist) so interessant ist, dass es heute einen der wichtigsten Grundbausteine der globalen Wirtschaft bildet (siehe RSA). Man könnte nun natürlich auch ein System definieren, in dem die 2 keine Primzahl ist (oder die 3 oder die 5 ...), doch solange man das herkömmliche System noch nicht völlig verstanden hat, sind diese Systeme nur für Mathematiker interessant. Siehe hierzu auch: Wikibooks: Warum 1 keine Primzahl ist

Primzahllücken

Die Differenz p2 - p1 zwischen benachbarten Primzahlen p1 < p2 wird Primzahllücke genannt. Paare von Primzahlen mit dem minimalen Abstand 2 heißen Primzahlzwillinge, zum Beispiel 5 und 7 oder 11 und 13. Allgemein schwankt die Anzahl der zusammengesetzten Zahlen zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Primzahlen. Siehe Primzahllücke

Verallgemeinerung

In der Ringtheorie wird das Konzept der Primzahl auf die Elemente eines beliebigen kommutativen unitären Rings verallgemeinert. Die entsprechenden Begriffe sind Primelement und irreduzibles Element. Die Primzahlen und deren Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen. In faktoriellen Ringen, das sind Ringe mit eindeutiger Primfaktorisierung, fallen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element zusammen; im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente. Insbesondere im zahlentheoretisch bedeutsamen Fall der Dedekindringe übernehmen Primideale die Rolle der Primzahlen.

Tabellen von Primzahlen


- [http://wikisource.org/wiki/Sequence:Prime_numbers Primzahlen zwischen 2 und 10.000.000]

Literatur


- Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 3. Aufl., Springer Verlag, New York, 1996, ISBN 0-387-94457-5
- Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. Verlag C.H.Beck, München, 2004, ISBN 3-406-52320-X
- Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. Springer-Verlag, Berlin 2000. ISBN 3-540-66289-8

Weblinks


- http://www.primzahlen.de
- http://www.primzahlen.org
- [http://www.utm.edu/research/primes/ The Prime Pages]
- [http://www.utm.edu/research/primes/notes/errata/ Ergänzungen und Irrtümer] zu dem Buch "The new Book of Prime Number Records" von Paolo Ribenboim
- [http://primes.utm.edu/notes/GapsTable.html Liste von Primzahl-Lücken]
- http://wikisource.org/wiki/Maximum_Number_of_Dividers: Zahlen mit extrem vielen Teilern !Primzahl Kategorie:Zahlentheorie ja:素数 ko:소수 zh-cn:素数

Natürliche Zahl

Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet.

Bezeichnungen und Konventionen für die Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen, Formelzeichen :\mathbb enthält je nach Definition die positiven ganzen Zahlen, also :\mathbb = \ oder die nichtnegativen ganzen Zahlen, also :\mathbb = \ Für diese beiden verschiedenen Konventionen gibt es sowohl historische als auch praktische Gründe. Die Definition ohne die Null steht in der älteren Tradition, da die natürlichen Zahlen ohne die Null lange Zeit die einzigen bekannten Zahlen waren: In Europa wurde erst ab dem 13. Jahrhundert mit der Null gerechnet. In manchen Gebieten der Mathematik wie der Zahlentheorie, in denen die multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht, ist aufgrund der Sonderrolle der Null bei der Multiplikation die Definition ohne Null häufiger anzutreffen. Aber beispielsweise in der mathematischen Logik, der Mengenlehre oder in der theoretischen Informatik vereinfacht die Definition mit Null die Darstellung. Im Zweifelsfall bietet es sich an, die DIN-Norm 5473 zu befolgen: Dort ist die Null eine natürliche Zahl. Das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen wurde von der französischen Mathematikergruppe Nicolas Bourbaki als \mathbf eingeführt. Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, variierte man es im Tafelbild zu dem Strichbuchstaben \mathbb. Im Laufe der Zeit wurde dieses gegenüber dem fett gedruckten \mathbf charakteristischere Symbol zunehmend auch im Drucksatz benutzt und hat sich mittlerweile fast völlig durchgesetzt, so dass heute einheitlich das Symbol \mathbb für die natürlichen Zahlen verwendet wird. Die gleiche Entwicklung fand auch bei den anderen Doppelstrich-Symbolen wie beispielsweise \mathbb und \mathbb statt. Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen. In Texten, in denen das Symbol \mathbb für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null verwendet wird, wird zur Unterscheidung das Symbol \mathbb_0 oder \mathbb \cup \ für die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null benutzt.
Falls jedoch das Symbol \mathbb für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null verwendet wird, wird meist \mathbb^+, \mathbb^
- , \mathbb_ oder \mathbb \setminus \ für die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 geschrieben.

Peano-Axiome

Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es letztlich egal, ob man auch die Null als natürliche Zahl bezeichnet oder nicht. Im folgenden wird jedoch zugunsten der Verständlichkeit nur davon ausgegangen, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Die behandelten Axiome und Rechenregeln lassen sich analog aber auch auf 1, 2, 3, ... (ohne 0) anwenden. Wichtig ist, dass es ein Startelement gibt und zu jedem Element einen Nachfolger, denn die natürlichen Zahlen hängen eng mit dem Prinzip der mathematischen Induktion zusammen. Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen \mathbb durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt. # 0 ist eine natürliche Zahl # Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist. # Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist. # Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m besitzen stets verschiedene Nachfolger n' und m' # Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.) Peano verwendet dabei die Begriffe 0, Zahl und Nachfolger. Bertrand Russell wies darauf hin, dass man damit nicht nur die natürlichen Zahlen, sondern jedes beliebige (abzählbare) Zahlensystem definieren kann. Man definiere z.B. 7/16 als 0 und erzeuge einen Nachfolger durch Addition von 1/16. Das letzte Axiom nennt man auch das Induktionsaxiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Peano-Axiome zu formalisieren. Eine (wenn auch nicht die Beste, da hier der Mengenbegriff vorausgesetzt wird) ist die folgende: # 0 \in \mathbb # \forall n: n \in \mathbb \rightarrow n' \in \mathbb # \forall n: \lnot (n' = 0) # \forall n \forall m: n' = m' \rightarrow n = m # \forall X: ((X(0) \land \forall n: X(n) \rightarrow X(n')) \rightarrow \forall n: X(n)) Hiervon ausgehend, werden auf \mathbb die Addition und Multiplikation definiert. Man setzt #n + 0 := n #n + m' := (n + m)' und dann #n \cdot 0 := 0 #n \cdot m' := (n \cdot m) + n Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Setzt man nun noch 1 := 0', ergibt sich n'=n+1. Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut eines Artikels auf [http://www.mathematik.ch/mathematiker/axiome_von_peano.php mathematik.ch]). Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, sah aber keine Notwendigkeit, deren Existenz zu beweisen. John von Neumann gab eine Möglichkeit an, die natürlichen Zahlen durch Mengen darzustellen, d.h. er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen. 0 := \varnothing
1 = 0' := \ = \
2 = 1' := \ = \
.
.
.
n' := \ = n \cup \ Zur Erklärung: 1 ist die Menge, die nur die leere Menge (=\varnothing) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst! Die leere Menge (oder 0) enthält kein Element; die Menge 1 hingegen enthält genau ein Element. Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl ist mengentheoretisch schon durch recht schwache Forderungen gesichert. Für die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen benötigt man jedoch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ein eigenes Axiom, das so genannte Unendlichkeitsaxiom.

Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Als Alternative kann man beim Körper der reellen Zahlen (\mathbb,+,,0,1) axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von \mathbb definieren. Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge. Eine Teilmenge M von \mathbb heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: # 0 ist Element von M # Ist x Element von M, so ist auch x+1 Element von M Dann ist \mathbb der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von \mathbb.

Einführung der natürlichen Zahlen nach Russell (historisch)

Der im Folgenden vorgestellte Ansatz von Bertrand Russell ist aus heutiger Sicht als Definition der natürlichen Zahlen aufgrund von mengentheoretischen Schwierigkeiten unbrauchbar. Beispielsweise ist die unten definierte natürliche Zahl 1 keine Menge, sondern eine echte Klasse; infolgedessen ist es unmöglich, über die Gesamtheit der so definierten natürlichen Zahlen zu sprechen, da echte Klassen selbst weder Elemente von Mengen noch von Klassen sein können. Die natürlichen Zahlen können jeweils als Gesamtheit der Objekte der jeweiligen Kardinalität definiert werden. So definiert Russell zunächst:
- Eine Menge wird einer anderen Menge äquivalent genannt, wenn es eine ein-eindeutige Beziehung gibt, deren Bereich aus der einen Menge besteht, während die andere Menge den inversen Bereich bildet. Es gelten für diesen Äquivalenzbegriff die Äquivalenzeigenschaften, so dass die auf diese Weise entstehenden Äquivalenzklassen als Repräsentanten für die natürlichen Zahlen dienen können:
- Die Zahl einer Menge ist die Menge aller ihr äquivalenten Mengen. Mit diesem Zahlbegriff sind sogar beliebige Kardinalitäten von Mengen beschrieben. (Heute nennt man diese Zahlen Kardinalzahlen.) Für die natürlichen Zahlen müssen wir uns auf die endlichen Mengen beschränken. Die endlichen Mengen fasst Russell schrittweise zusammen:
- Die Zahl 0 ist die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist. (Man bedenke: zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen vorkommt und umgekehrt. Daher gibt es nur eine einzige leere Menge.) Russell definiert jetzt Nachfolger und Vorgänger von Zahlen:
- Sei A eine Menge und x ein Element, das in A nicht vorkommt. Der Nachfolger der Zahl der Elemente von A ist die Zahl der Elemente von A\cup\.
- Sei A eine nichtleere Menge und x ein Element von A, dann heißt die Zahl der Elemente von A\setminus\ der Vorgänger von der Zahl von A. Damit hat Russell jetzt das notwendige Handwerkszeug zusammen und kann definieren, was die endlichen Zahlen sind:
- a) 0 ist endlich.
- b) Eine Zahl ungleich 0 ist endlich, wenn sie einen Vorgänger hat, der endlich ist. (Diese Definition endlicher Mengen ist aus heutiger Sicht nicht haltbar, da ihre Präzisierung entweder den Begriff der natürlichen Zahl verwenden oder eine mengentheoretisch unzulässige Konstruktion verwenden muss. Dies ließe sich jedoch durch Verwendung des Begriffes der Dedekind-Endlichkeit umgehen.) Schließlich legt Russell fest:
- Eine natürliche Zahl ist etwas, was Zahl einer endlichen Menge ist. Russell erwähnt, dass er in seiner Begriffsbildung Gedanken von Gottlob Frege benutzt hat.

Primzahlen

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar. Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl außer der Null besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. sie lässt sich, von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen, auf genau eine Art als Produkt von Primzahlen darstellen. Produkte mit nur einem oder gar keinem Faktor sind dabei zugelassen. Gemäß mathematischer Konvention hat das sogenannte leere Produkt aus Null Faktoren den Wert 1, und stellt damit die Primfaktorzerlegung der 1 dar.

Verwandte Themen


- Ordinalzahlen
- Zahlensystem
- Liste besonderer Zahlen

Siehe auch


- Zahlentheorie

Literatur


- Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. 1919
- Johannes Lenhard u. Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. ISBN 3-7873-1602-7 Kategorie:Zahlen ja:自然数 ko:자연수 th:จำนวนธรรมชาติ

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Zusammengesetzte Zahl

Eine zusammengesetzte Zahl n ist eine natürliche Zahl, die sich als Produkt mindestens zweier (gleicher oder verschiedener) Primzahlen darstellen lässt. Die Primzahlen, die in einer solchen Produkt-Darstellung von n auftreten, heißen Primfaktoren der Zahl n, die Produktdarstellung selbst heißt Primfaktorzerlegung. Mit Ausnahme der Zahlen 0 und 1 ist jede natürliche Zahl entweder eine Primzahl oder zusammengesetzt; die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Die ersten 10 zusammengesetzten Zahlen und ihre Primfaktorzerlegungen sind:
- 4 = 2 \cdot 2
- 6 = 2 \cdot 3
- 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2
- 9 = 3 \cdot 3
- 10 = 2 \cdot 5
- 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
- 14 = 2 \cdot 7
- 15 = 3 \cdot 5
- 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
- 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 Kategorie:Zahlentheorie ja:合成数 ko:합성수 th:จำนวนประกอบ

Antike

Der Begriff Antike (von lat. antiquus, alt, altertümlich) bezeichnet die Epoche des Altertums im Mittelmeerraum. Sie reicht etwa von 1200 v. Chr. (bzw. 800 v. Chr., siehe zeitliche Abgrenzung) bis ca. 600 n. Chr. und unterscheidet sich von vorhergehenden und nachfolgenden Epochen durch gemeinsame und durchgängige kulturelle Traditionen. Seit dem ersten Jahrhundert n. Chr. bildete zudem der Mittelmeerraum im Rahmen des Römischen Reichs eine politische und kulturelle Einheit. Im engeren Sinne bezeichnet man mit der Antike die Geschichte des archaischen und klassischen Griechenlands, des Hellenismus und des Römischen Reichs (Republik, Prinzipat und Spätantike). Im weiteren Sinne bezieht die Antike auch die Geschichte der altorientalischen, nahöstlichen Hochkulturen Ägyptens, Mesopotamiens, Syriens, Persiens und Kleinasiens mit ein, die etwa mit dem Beginn der Schriftlichkeit um 3500 v. Chr. einsetzt. Dieser universalhistorische, über die Klassische Altertumswissenschaft hinausgehende Ansatz wurde unter anderem von dem Historiker Eduard Meyer im 19. Jahrhundert gefordert. Wieder aufgegriffen wurde dies in letzter Zeit etwa durch den deutschen Althistoriker Josef Wiesehöfer, einen anerkannten Experten für das antike Persien. Josef Wiesehöfer

Epochenabgrenzung

Historisch bezeichnet Antike im Sinne der klassischen Altertumswissenschaft die Zeit von der allmählichen Herausbildung der griechischen Staatenwelt bis zum Ende des weströmischen Reichs im Jahr 476 bzw. bis zum Tod des oströmischen Kaisers Justinian I. 565. Immer öfter wird auch die arabische Expansion ab 632 als Enddatum genannt (siehe Islamische Expansion). Der Anfang der antiken Kultur im klassischen Sinne wird im Allgemeinen mit der Entstehungszeit der Homerischen Epen und dem Beginn der griechischen Kolonisation des Mittelmeerraums im 8. Jahrhunderts v. Chr. angesetzt. Die Griechen verbreiteten ihre Bildung und Kultur in den folgenden Jahrhunderten im gesamten Mittelmeerraum und seit Alexander dem Großen auch im Orient und nach Zentralasien hinein. Die Römer brachten die antike Kultur bis nach Mittel- und Nordwesteuropa, wo sie sich seit dem frühen Mittelalter zur christlich-abendländischen Kultur wandelte. Je nach Forschungsrichtung werden aber durchaus auch die Zeiten der minoischen und der mykenischen Kultur von etwa 1900–1100 v. Chr. sowie die Epoche der so genannten dunklen Jahrhunderte 1200–750 v. Chr. zur griechisch-römischen Antike gerechnet. Als Epochengrenzen zum Mittelalter sind auch die Jahre 325 (Konzil von Nicäa), 393 (letzte Olympische Spiele der Antike), 476 (Absetzung des Romulus Augustulus), 498 (Taufe des Frankenkönigs Chlodwig I.), 529 (Gründung des ersten abendländischen Mönchsklosters durch Benedikt von Nursia; zugleich Schließung der platonischen Akademie als symbolisches Datum in der Philosophie nach dem Tod des "letzten" antiken Philosophen Boëthius 524), der Tod Kaiser Justinians I. 565, das Ende der Völkerwanderung mit dem Langobardeneinfall in Italien 568 oder die Eroberungszüge der Araber im 7. Jahrhundert vorgeschlagen worden. Im Allgemeinen wird das Ende der Antike heute in etwa mit dem Jahr 600 angesetzt; darin kommt zum Ausdruck, dass es letztlich keinen eindeutigen einmaligen Einschnitt zwischen Altertum und Mittelalter gab. Zum Ende der Antike siehe vor allem Spätantike.

Ursprünge der antiken Kultur

Die Ursprünge der europäischen Antike liegen im Dunkeln. Ihre Vorgeschichte ist etwa in der Zeit von ca. 2000- ca. 1600 v. Chr., im Mittelhelladikum anzusiedeln. Zu Beginn dieses Zeitabschnitts - teils auch schon im letzten Abschnitt des Frühhelladikums FH III ca. 2200-2000 v. Chr. - wanderten indoeuropäische Stämme in Griechenland ein. Offenbar unter Einfluss der sogenannten minoischen Kultur auf Kreta, der ersten Hochkultur Europas, die ihre Blüte von ca. 1900 - 1450 v. Chr. hatte, entwickelte sich auf dem Festland aus der Kultur des Mittelhelladikums die mykenische Kultur (ca. 1600 - 1050/00 v. Chr.). Sie hat Ihren Ausgangspunkt vermutlich in der Argolis und erscheint unvermittelt mit reichen Schachtgräbern (ab ca. 1600 v. Chr.). Unter anderem übernahm die mykenische Kultur von der minoischen die Schrift. Die auf Kreta (unter anderem) verwendete sog. Linearschrift A), die aber bisher nicht vollständig entschlüsselt werden konnte, da die Texte in unbekannter Sprache geschrieben sind, wurde zur sog. Linearschrift B modifiziert. Die Linearschrift B begegnet auf zahlreichen Tontäfelchen u.a. der Paläste in Pylos, Theben, Mykene auf dem griechischen Festland und dem mittlerweile mykenisch beherrschtem Knossos auf Kreta. Knossos Bekannt sind die prächtigen Zentren der mykenischen Kultur. Bedeutende Fundorte sind Mykene, Pylos und Tiryns auf der Halbinsel Peloponnes, Orchomenos und Gla in Böotien (letzteres keine Burg), Milet in Westkleinasien usw. Die Zentren hatten eine Oberstädte, Burgen genannt, die im 13. Jh. in vielen Fällen stark befestigt wurden. Reiche Kuppelgräber, feine, teils reich bemalte Keramik, kunstvolle Gold-, Silber und Faiencerarbeiten etc. zeugen vom Reichtum und von der Spezialisierung des Wirtschaftssystems, das zentral gesteuert wurde. Intensive Handelskontakte wurden mit dem Nahen Osten, Assyrien und Ägypten gepflegt. Mykenische Keramik war in weiten Teilen des Mittelmeergebiets beliebt. Wahrscheinlich gab es sogar griechische Handelsniederlassungen in Süditalien. Etwa 1200-750 v. Chr. setzt man traditionell das "Dunkle Zeitalter" an, aus dem uns nur wenig überliefert ist. Zu Beginn dieser Phase werden viele der Burgen des griechischen Festlands zerstört. Die mykenische Tradition besteht jedoch noch ca. 150 Jahre weiter, bevor der Übergang in die sog. Protogeometrische Periode (ca. 1050 - 900 v. Chr.) erfolgt. Der Überlieferung nach setzt ca. 1050 v. Chr. die sehr umstrittene "Ionische Wanderung" ein, in deren Verlauf die Einwohner des griechischen Festlandes die Inseln der Ägäis und Kleinasiens kolonisierten. Auf dem griechischen Festland bietet sich ein diffuses Bild: wenige Siedlungen wurden bisher entdeckt und die meisten machen einen - im Vergleich zur mykenischen Zeit - ärmlichen Eindruck. Ganz anders hingegen Lefkandi auf Euböa: dort wurden neben einer Siedlung mit einem großen Gebäude des Fürsten von Lefkandi Gräber gefunden die sehr reich ausgestattet waren. Das Dunkle Zeitalter hellt sich in den letzten Jahrzehnten - dank vieler neuer Funde - immer mehr auf. Nach Annahme der Homerforschung spiegeln unterschiedliche Passagen der Ilias die Verhältnisse dieser Zeit wider. Sie war offenbar wichtig für die Entwicklung der griechischen Gesellschaft, auch hin zur griechischen Polis. Ab dem 8. Jh. sind die Kontakte zum vorderen Orient wieder sehr intensiv und es entstehen Handelsstationen auf Zypern (Kition) und in Syrien (Al Mina). Vermutlich bereits im späten 9. Jh. v. Chr. hat man von den Phöniziern das Alphabet übernommen.

Anfänge des klassischen Griechenland

Mit dem so genannten archaischen Zeitalter begann im frühen 8. Jahrhundert v. Chr. die eigentliche Antike. Seit dem Jahr 776 v. Chr. ist die Siegerliste der olympischen Spiele überliefert. Von etwa 770 bis 540 v. Chr. breiteten sich die Griechen während der Großen Kolonisation im westlichen Mittelmeer (vor allem Sizilien und Unteritalien, siehe auch Magna Graecia), an der nördlichen Ägäis und am Schwarzen Meer aus. In Kleinasien waren Griechen bereits vorher ansässig. In dieser Zeit (etwa zwischen 750 und 650 v. Chr.) wurden auch die Homerischen Epen (Ilias und Odyssee) schriftlich fixiert, die ältesten Literaturdenkmäler des Abendlands; auch Hesiod wirkte um diese Zeit (700 v. Chr.) (siehe auch: altgriechische Literatur)

Entstehung der Polis

Zugleich bildete sich das System der griechischen Stadtstaaten, der Poleis heraus, wobei die Mehrzahl nur über eine sehr kleine Bevölkerung verfügte. Der werdende Militärstaat Sparta im Süden der Peloponnes unterwarf zwischen 720-600 v. Chr. Messenien und kontrollierte damit den gesamten südwestlichen Teil der Halbinsel. Die Stadt mit ihrer oligarchischen Verfassung kann als das erste Beispiel der fortan beherrschenden Polis-Struktur gelten.
Auch in vielen anderen griechischen Stadtstaaten regelten Verfassungen das Zusammenleben der Bürger, aber auch die Tyrannis, wie sie um 650 v. Chr. beispielsweise in Korinth und Megara bestand, war keine Seltenheit. In Athen bildete sich Schritt für Schritt ein demokratisches System heraus. Nach den Gesetzgebungen Drakons (621 v. Chr.) und Solons (594/593 v. Chr.) gelang es Peisistratos und seinen Söhnen etwa zwischen 561 und 510 v. Chr. zwar noch einmal, eine Tyrannis zu errichten. Bis 501 v. Chr. brachten die Reformen des Kleisthenes von Athen aber den endgültigen Durchbruch für die attische Demokratie.

Blütezeit Athens

Mit Athens Unterstützung der kleinasiatischen Griechenstädte im Ionischen Aufstand um 500 v. Chr. begann ein annähernd zweihundertjähriger Konflikt mit dem Perserreich, zunächst in Gestalt der Perserkriege, über die uns der "Vater der Geschichte", der Historiker Herodot, mal mehr, mal weniger zuverlässig informiert. Als die Perser zu einer Strafexpedition in Griechenland einfielen, wurden sie 490 v. Chr. von den Athenern in der Schlacht bei Marathon besiegt. Zehn Jahre später unterlag der persische Großkönig Xerxes I. der athenischen Flotte unter Themistokles in der Seeschlacht von Salamis und 479 v. Chr. den vereinigten Heeren der griechischen Poleis in der Schlacht von Plataiai. Persien war vorerst zurückgedrängt, während die griechischen Poleis in Kleinasien befreit wurden. Kleinasien Mit der Gründung des Attischen Seebunds 477 v. Chr. unter der Vorherrschaft Athens setzte die Blütezeit der Stadt ein, die bis zum Ende der Regierungszeit des Perikles im Jahr 429 v. Chr. reichte. Damals entstanden einige der bedeutendsten philosophischen, literarischen und architektonischen Werke der griechischen Antike, etwa die Tragödien von Aischylos, Sophokles und Euripides oder der Parthenontempel auf der Akropolis. Auch der Philosoph Sokrates, der Lehrer Platons, wirkte damals in Athen.

Kampf um die Hegemonie

Die zunehmende Rivalität zwischen der Seemacht Athen und der Landmacht Sparta mündete 431 v. Chr. in den fast 30 Jahre währenden Peloponnesischen Krieg, den der Historiker Thukydides eindringlich beschrieb. Der sehr wechselhaft verlaufende Konflikt endete, auch aufgrund der Unterstützung Spartas durch das Perserreich, 404 v. Chr. mit der vollständigen Niederlage Athens und der Errichtung einer zeitweiligen spartanischen Hegemonie über Griechenland.
In der ersten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. führten die griechischen Städte einen fast permanenten Krieg aller gegen alle - in wechselnden Koalitionen und unter fortwährender Einmischung der Perserkönige, wobei die Sehnsucht nach einem allgemeinen Frieden auch zu propagandistischen Zwecken eingesetzt wurde (siehe den Königsfrieden von 386 v. Chr.). Theben löste Sparta 371 v. Chr. nach der Schlacht von Leuktra als Hegemon ab, doch auch Thebens Vorherrschaft war nur von kurzer Dauer; der Peloponnesische Krieg hatte somit, wie sich im Nachhinein zeigte, das Machtgleichgewicht nachhaltig destabilisiert. Auf Sizilien behauptete sich derweil das mächtige Syrakus gegenüber der Handelsrepublik Karthago, welche mit den griechischen Poleis ("Westgriechen") seit dem frühen 5. Jahrhundert v. Chr. im Konflikt lag. Auf Sizilien hielt sich zudem, im Gegensatz zum Mutterland, in vielen Städten die Tyrannis als Regierungsform (siehe Dionysios I. von Syrakus, Agathokles von Syrakus und andere). Dem andauernden Machtkampf im griechischen Mutterland machte erst die gewaltsame Einigung Griechenlands durch Philipp II. von Makedonien ein Ende. Der von Athenern wie Demosthenes als nicht-griechischer Barbar betrachtete König errang mit seinem glänzend geschulten Heer in der Schlacht von Chaironeia 338 v. Chr. die Hegemonie über Hellas, die im Jahr darauf im Korinthischen Bund bekräftigt wurde.

Zeit des Hellenismus (336 bis 30 v. Chr.)

Hellenismus Nach der Ermordung Philipps 336 v. Chr. führte sein Sohn Alexander der Große ein griechisch-makedonisches Heer nach Asien und eroberte in wenigen Jahren das gesamte Perserreich. Der Alexanderzug bahnte der griechischen Kultur im ganzen damals bekannten Orient den Weg, von Ägypten über Mesopotamien und Persien bis zu den Grenzen Indiens. Nach Alexanders Tod 323 v. Chr. in Babylon teilten seine Nachfolger, die Diadochen, in lange währenden Kriegen das Reich unter sich auf. In allen Teilreichen - vom ptolemäischen Ägypten im Westen bis zum Seleukidenreich im Osten - bildete der Hellenismus in den folgenden Jahrhunderten die prägende Kultur. Das Zeitalter des Hellenismus war geprägt von einem fast andauernden Kampf der drei Großmächte (Ptolemäer, Seleukiden und Antigoniden) um die Vorherrschaft. Rom intervenierte zu Beginn des 2. Jahrhunderts v. Chr. in Griechenland. 146 v. Chr. unterstellte das Römische Reich die Mitglieder des unterlegenden Achaiischen Bundes der Provinz Macedonia; Korinth als führende Polis wurde zerstört. Jedoch blieben viele Poleis wie Athen und Sparta zumindest vorerst formell unabhängig. Bald darauf folgte der Erwerb Pergamons und 64/63 v. Chr. die Beseitigung der Überreste des Seleukidenreiches. Als letzter Nachfolgestaat des Alexanderreichs wurde im Jahre 30 v. Chr. das ptolemäische Ägypten, dessen letzte Herrscherin Kleopatra VII. war, ins Römische Reich eingegliedert. Damit war die hellenistische Staatenwelt als machtpolitischer Faktor ausgelöscht. Die griechische Kultur jedoch lebte mit unverminderter Kraft im Römischen Reich fort und prägte es bis zu seinem Untergang im Westen 476 und darüber hinaus bis in die Zeit des Byzantinischen Reiches.

Römisches Reich

Nach den Griechen wurden die Römer zu den zweiten Trägern und Vermittlern der antiken Kultur. Je weiter sie als Eroberer in die Länder der Levante vordrangen, desto stärker ließen sie sich von deren Kultur beeinflussen. Literatur, Philosophie, Kunst, Architektur und Alltagskultur der Griechen wurden von den Römern dann auch im westlichen Mittelmeerraum verbreitet - und weit darüber hinaus bis zum Rhein und zu den britischen Inseln.

Ursprünge Roms

Rom, der Legende nach 753 v. Chr. gegründet, entstand neueren Forschungen zufolge erst gegen Ende des 7. Jahrhunderts v. Chr. aus dem Zusammenschluss mehrerer dörflicher Siedlungen an einer Furt am Unterlauf des Tibers. Politisch und kulturell stand Rom lange unter etruskischem Einfluss. Die Etrusker wiederum unterhielten schon früh Kontakt mit griechischen Kolonisten.

Die Römische Republik (ca. 500 bis 27 v. Chr.)

Römische Republik Um 500 v. Chr. befreiten sich die Römer vom etruskischen Stadtkönigtum und bildeten wohl um 475 v. Chr. eine republikanische Regierungsform aus. In den Zwölftafelgesetzen, die um 450 v. Chr. entstanden, wurden die ersten zivil-, straf- und prozessrechtlichen Normen des römischen Rechts festgehalten. Die Verfassung sah von da an ein Zusammenwirken der drei Institutionen Senat, Magistratur und Volksversammlung vor, die sich in ihrer Macht theoretisch gegenseitig beschränkten. Die offizielle Bezeichnung der Republik lautete S.P.Q.R. für Senatus Populusque Romanus (dt.: Senat und Volk von Rom). Faktisch dominierte jedoch der Senat, der sich aus Angehörigen der adligen Familien, der Patrizier zusammensetzte. Aus ihm gingen auch die Konsuln hervor, die beiden auf ein Jahr gewählten obersten Magistrate der Republik. Das höchste den nichtadligen Plebejern zugängliche Amt war das des Volkstribunen, der ein Vetorecht gegen Senatsbeschlüsse besaß. Vetorecht Bis zum Jahr 272 v. Chr. unterwarfen die Römer ganz Italien südlich der Poebene. In den Punischen Kriegen gegen die Seemacht Karthago im 3. und 2. Jahrhundert v. Chr. begann der Aufstieg Roms zur antiken Supermacht, die für Jahrhunderte die gesamte Mittelmeerwelt beherrschte. Nach 200 v. Chr. mischte sich Rom auch in die Politik der hellenistischen Großmächte ein und wurde zur Protektoratsmacht im östlichen Mittelmeerraum. 148 v. Chr. wurde das Makedonien der Antigoniden, 63 v. Chr. das Reich der Seleukiden, und schließlich 30 v. Chr. das Ägypten der Ptolemäer römische Provinz. Gleichzeitig kam es jedoch im Inneren zu einer ganzen Reihe von Krisen, in denen der Kampf der an den überkommenen sozioökonomischen Strukturen festhaltenden Optimaten gegen die auf Reformen drängenden Popularen sich spiegelte. In der Epoche der Bürgerkriege erreichte die Krise der späten Römischen Republik ihren Höhepunkt und es zeichnete sich ab, dass die Republik als solche sich überlebt hatte: So wurde der Prinzipat möglich. Bereits Gaius Julius Caesar hatte als Diktator auf Lebenszeit (dictator perpetuus) eine quasi-monarchische Stellung erlangt. Als erster römischer Kaiser gilt jedoch sein Großneffe und Erbe Augustus, dem es gelang, mit dem Prinzipat eine dauerhafte monarchische Staatsordnung an die Stelle der zerrütteten Republik zu setzen.

Die Römische Kaiserzeit (27 v. Chr. bis 284 n. Chr.)

Das von Augustus errichtete Kaiserreich (Prinzipat) wurde von ihm und seinem Nachfolger Tiberius noch sicher geführt. Unter Caligula, Claudius und Nero kam es nach einem Krisenjahr (Vierkaiserjahr) zum Regierungsantritt der Flavier (Vespasian, Titus, Domitian) die insgesamt recht erfolgreich herrschten. Nach der Ermordung Domitians folgte allerdings eine weitere Krise des Herrschaftssystems, die jedoch unter den so genannten Adoptivkaisern weitgehend behoben werden konnte. Das Imperium erlebte seine größte Blüte und Ausdehnung denn auch unter eben diesen Adoptivkaisern in der ersten Hälfte des 2. Jahrhunderts (Expansion unter Trajan, Rücknahme und Sicherung der Grenzen unter Hadrian). Bald nach der Mitte des 2. Jahrhunderts n.Chr. wuchs jedoch der Druck auf die Reichsgrenzen immer stärker an. Im Norden und Nordosten bedrängten die Germanen, im Osten die Parther (die sich trotz mancher Niederlage behaupten konnten) und später die Sassaniden das Reich. Mit dem Tod von Mark Aurel, dem Philosophenkaiser im Geiste der Stoa, der sich entgegen seinen Neigungen bald nach Übernahme der Herrschaftsfunktionen nahezu ständig zu kriegerischer Verteidigung der Reichsgrenzen genötigt sah, endete im Jahre 180 ein Zeitalter, das viele als ein goldenes begriffen hatten – was aber wohl nur mit Abstrichen gelten kann. Nach dem schwachen Commodus stabilisierten die Severer die Grenzen wenigstens teilweise, bevor es unter den so genannten Soldatenkaisern zur Reichskrise des 3. Jahrhunderts kam, die geprägt war von raschen Regierungswechseln, zentrifugalen Tendenzen im Inneren (Abspaltung des Imperium Galliarum; Verlust mehrerer Provinzen an Palmyra) und dem stetig wachsenden Druck auf die Grenzen. Neben den verschiedenen Germanenstämme (wie die Alamannen und Goten), übte vor allem das Sassanidenreich im Osten einen enormen Druck aus. Nach dem Sturz des letzten Partherkönigs im Jahr 224, erneuerten die Sassaniden das Perserreich in Anlehnung an das Reich der Achämeniden. Großkönig Schapur I. besiegte mehrmals ein römisches Heer und nahm Kaiser Valerian sogar gefangen – ein einmaliger Vorgang in der römischen Geschichte. Auch die Nachfolger Schapurs sollten sich den Römern als in der Regel gewachsene Gegner erweisen.

Die Spätantike (284 bis 565/632 n. Chr.)

Es gelang gegen Ende des 3. Jahrhunderts mit der Einführung der Tetrarchie durch Kaiser Diokletian noch einmal eine Stabilisierung des Reiches zu erreichen. Diese Zeit der beginnenden Spätantike ist gekennzeichnet von Umbrüchen. Die Anerkennung und Privilegierung des Christentums unter Kaiser Konstantin I. (welches vorher teils blutig verfolgt worden war) stellte bereits eine wesentliche Abkehr von der antiken Kultur dar, insbesondere von der antiken Philosophie und dem Religionspluralismus.
Ein letzter Versuch, die heidnischen Kulte durch die Verbindung mit neuplatonischem Gedankengut wieder zu beleben, scheiterte mit dem Tod Kaiser Julians im Jahr 363; alle nachfolgenden Kaiser waren Christen.
Valentinian I. stabilisierte den Westen des Reiches, doch kam es im Zuge der Völkerwanderung 378 zur Schlacht von Adrianopel und zu einer neuen Krisenzeit. Kaiser Theodosius I. wiederum konnte den Osten des Reiches stabilisieren und war zugleich der letzte Kaiser, der über das gesamte Imperium Romanum herrschen sollte; er erklärte das Christentum schließlich zur Staatsreligion. Allerdings lassen sich noch bis mindestens in das 6. Jahrhundert hinein Heiden auf dem Boden des Imperiums nachweisen. Nach der Teilung des Reiches unter den Söhnen des Kaisers Theodosius 395 erwies sich letztlich nur das von Konstantinopel (Byzanz) aus regierte, überwiegend griechischsprachige Oströmische Reich auf Dauer als lebensfähig (Latein blieb hier aber noch bis ins 7. Jahrhundert Amtssprache). Das so genannte Weströmische Reich hatte dem Ansturm der Hunnen und Germanen immer weniger entgegenzusetzen. Es kam zu einer langsamen Auflösung des weströmischen Heeres, während die Germanen von mehreren Westprovinzen direkten Besitz ergriffen und dabei an die Stelle der römischen Autoritäten traten. Die Veränderungsprozesse im Zuge der Völkerwanderung scheinen dabei bei weitem nicht so einfach gewesen zu sein, wie man lange glaubte, und sind heute wieder Gegenstand wissenschaftlicher Diskussion. 410 wurde Rom von den Westgoten, 455 von den Vandalen geplündert. Im Jahr 476 setzte der Germanenfürst Odoaker, ein Skire, den letzten Westkaiser Romulus Augustulus ab (obwohl der letzte anerkannte Westkaiser Julius Nepos noch bis 480 lebte) und unterstellte sich der nominellen Oberherrschaft des oströmischen Kaisers.
Die traditionelle Geschichtsschreibung sah in diesem damals nur wenig beachteten Akt oft das "Ende der Antike"; heute ist man von dieser Sichtweise abgekommen. Vielmehr wird das 6. Jahrhundert heute meist mit gutem Grund noch zur Antike gezählt. Der oströmische Kaiser Justinian I. (527-565) versuchte noch einmal mit recht beachtlichem Erfolg eine Wiederherstellung des Gesamtreiches, die letztlich jedoch nicht gelang - zumal an der Ostgrenze die Sassaniden das Reich weiter unter Druck setzten. Im Oströmischen Reich lebten antike Kultur und Geisteswelt aber noch bis weit ins Mittelalter fort, allerdings bildete hier die arabische Expansion des 7. Jahrhunderts einen deutlichen Einschnitt, der das spätantike frühbyzantinische Reich vom Byzanz des Mittelalters trennte.

Bedeutung und Nachwirken der Antike

Die Bedeutung der Antike für den weiteren Verlauf der Weltgeschichte kann gar nicht hoch genug veranschlagt werden. In dieser Epoche liegen die Wurzeln für die Entwicklung der westlichen Welt. Ionische Naturphilosophie, attische Demokratie, römisches Recht und religiöser Pluralismus waren Hinterlassenschaften, an die neuzeitliche Aufklärer, Staatstheoretiker, Naturwissenschaftler, Menschenrechtsverfechter u.a.m. anknüpfen konnten. Bis heute erhaltene Zeugnisse der Antike sind - neben überlieferten Texten philosophischer, literarischer oder historischer Natur - zahlreiche Objekte der griechischen und römischen Kunst: von großen Skulpturen bis zur Kleinkunst, Töpferei etc. Wichtige Antikensammlungen befinden sich in Rom, Athen, Neapel, Paris, London, München, St. Petersburg, Wien und Berlin. Für die Kenntnis des antiken Alltags sind vor allem archäologische Ausgrabungen wie die in Pompeji, Olympia, Delphi oder Pergamon von Bedeutung. Als man im Italien des 15. Jahrhunderts die erhaltenen (meist römischen) Überreste neu zu schätzen lernte und in der Kunst nachahmte, bezeichnete man dies als Renaissance, als Wiedergeburt der Antike. Es muss jedoch beachtet werden, dass die Antike dem Mittelalter auch nie völlig entschwunden war und es, neben den Byzantinern und Arabern, unter anderem der Tätigkeit der Mönche und der Karolingischen Renaissance zu verdanken war, dass nicht noch mehr verloren ging. In der neueren Forschung wird auch betont, dass durchaus gewisse Kontinuitätslinien zwischen der Antike und dem Mittelalter bestehen. Seit dem 18. Jahrhundert trat infolge der Arbeiten von Johann Joachim Winckelmann die klassische griechische Kunst zunehmend ins Zentrum des Interesses. Im 19. Jahrhundert sprach man im Zusammenhang mit den Arbeiten von Architekten und Künstlern wie Karl Friedrich Schinkel, Franz Karl Leo von Klenze und Berthel Thorwaldsen von der "Renaissance der griechischen Antike", heute vom Neuhumanismus. Vor allem aber setzte die Wiedergeburt des antiken Geistes in der Renaissance der jahrhundertelangen Dominanz religiösen Denkens ein Ende und mündete schließlich in die Epoche der europäischen Aufklärung und in die Moderne. Fast alle Ideen der neuzeitlichen Aufklärung haben antike Vorläufer. Ohne griechische Wissenschaft und Philosophie, ohne das römisches Recht, ohne Architektur und Kunst von Griechen und Römern sind die neuzeitliche westliche Kultur und Zivilisation nicht denkbar. Siehe auch: Klassizismus, Philosophie der Antike

Quellen in Auswahl

Der Großteil der antiken Literatur (und damit auch der Geschichtsschreibung) ist uns nicht erhalten, sodass unser Wissen über die Antike zum Teil sicher durch Überlieferungszufälle verzerrt wird. Man hat geschätzt, dass uns kaum 10% der griechischen Literatur überliefert ist (siehe H. Strasburger: Umblick im Trümmerfeld der griechischen Geschichtsschreibung, in: Historiographia antiqua, Festschrift W. Peremans, Leuven 1977, S. 3-52). In Teilen sieht es besonders trostlos aus (Hellenismus), in anderen Bereichen etwas besser (klassische Zeit Griechenlands sowie Spätantike). Insgesamt ist die Quellenlage jedoch problematisch. Neben den erzählenden Quellen müssen natürlich auch Inschriften und Reden sowie archäologische und numismatische Quellen etc. herangezogen werden. Eine Zusammenfassung mit ausführlichen Angaben bieten die entsprechenden Artikel (Geschichtsschreibung) im Pauly (RE; KlP; DNP) oder anderen Lexika. Im folgenden seien einige der wichtigsten (erhaltenen) antiken Autoren genannt.
- Herodot, Historien
- Thukydides, Der Peloponnesische Krieg
- Xenophon, Hellenika
- ders., Der Zug der Zehntausend
- Arrian, Alexanders des Großen Zug durch Asien
- Pausanias, Beschreibung Griechenlands
- Plutarch, Große Griechen und Römer
- Polybios, Historien
- Livius, Römische Geschichte
- Diodor, Bibliothek
- Sallust, Die Verschwörung des Catilina
- ders., Der Krieg gegen Jugurtha
- Caesar, Der Gallische Krieg
- ders., Der Bürgerkrieg
- Tacitus, Annalen
- ders., Germania
- Flavius Josephus, Der jüdische Krieg
- Sueton, Leben der Caesaren
- Ammianus Marcellinus, Res Gestae
- Zosimos, Neue Geschichte
- Anonymus, Historia Augusta
- Prokopios von Caesarea, Kriege, Bauten und Geheimgeschichte Eine äußerst wichtige Sammlung stellt Jacoby dar: Felix Jacoby, Fragmente der Griechischen Historiker (FGrHist), Berlin (später Leiden) 1923 ff. [http://www.klassphil.uni-muenchen.de/%7Ewaiblinger/jacoby.html Vorläufiges Register]

Literatur

Allgemein: Ausführliche Angaben sind entweder den Bibliographien der unten genannten Werke (besonders sei dabei auf The Cambridge Ancient History und Oldenbourg Grundriss der Geschichte hingewiesen) zu entnehmen oder den Bibliographien, die in der HU-Linkliste aufgeführt sind (siehe beispielsweise [http://www.uni-essen.de/geschichte/alte_seite/6A1-HilfsmittelAG.htm Bibliographie des Hist. Seminars der Uni Essen]). Zu den in der Alten Geschichte üblichen Ankürzungen vgl. neben den Lexika auch [http://www.archeolinks.com/aristarchos.htm Aristarchos].

Einführungen


- Manfred Clauss: Einführung in die alte Geschichte, München 1993.
- Rosemarie Günther: Einführung in das Studium der Alten Geschichte, Paderborn 2001.

Allgemeine Überblickswerke


- The Cambridge Ancient History, diverse Hrsg., 14. Bde. (teils in Teilbänden), 2. völlig neubearb. Aufl., Cambridge 1970ff. Umfassende und sehr wichtige Gesamtdarstellung des Antike. Die zweite Aufl. ist vollständig neubearbeitet worden.
- Geschichte der Antike. Ein Studienbuch, hrsg. von H.-J. Gehrke und H. Schneider, Stuttgart 2000. ISBN 3-476-01455-X Grundlegende Einführung!
- Geschichte kompakt Antike der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft; noch im Entstehen begriffen. Gute Einführungen mit einem teils hervorragenden, in die Darstellung integrierten Forschungsüberblick (z.B. R. Schulz, Athen und Sparta, Darmstadt 2003).
- Das Erste Europa, 1000 v. Chr. – 500 n. Chr. (Handbuch der Geschichte Europas, Band 1), von Wolfgang Schuller, Stuttgart 2004. Sehr knappe Darstellung der Ereignisgeschichte, wofür eine gute strukturelle und forschungsgeschichtliche Darstellung geboten wird.
- Oldenbourg Grundriss der Geschichte, hrsg. von Jochen Bleicken und anderen, Bd. 1-4, versch. Auflagen, München 1980 ff. Dreiteilung jedes Bandes: 1) sehr knappe Darstellung, 2) Forschungsüberblick und 3) umfassende Bibliographie. Unersetzbar für den Einstieg in die wissenschaftliche Arbeit!
- Oldenbourg Geschichte Lehrbuch: Antike, hrsg. von Eckhard Wirbelauer, München 2004. Umfassender und zugleich origineller, witziger Einstieg in die antike Geschichte, der alle wichtigen Themen abdeckt; die Ereignisgeschichte wird aber nur sehr, sehr knapp behandelt.

Chronologisch geordnete Darstellungen neueren Datums

Älteren Datums, aber immer noch sehr nützlich, sind die Darstellungen zur griechischen Geschichte von Karl Julius Beloch, Georg Busolt und Eduard Meyer.
- Hermann Bengtson: Griechische Geschichte. Von den Anfängen bis in die römische Kaiserzeit, Handbuch der Altertumswissenschaft III. 4, Reprint der 5. durchgesehen und erg. Auflage von 1977, München 1996. ISBN 3-406-06660-7 (als Ausgabe ohne wissenschaftlichen Apparat: Griechische Geschichte, 9. Auflage, München 2002. ISBN 3-406-02503-X)
- Detlef Lotze: Griechische Geschichte. Von den