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Variationsprinzip

Variationsprinzip

Die Variationsrechnung ist eine Sparte der Mathematik, die um 1800 von Joseph-Louis Lagrange entwickelt wurde. Sie beschäftigt sich mit Funktionen von Funktionen, die auch Funktionale genannt werden. Solche Funktionale können z. B. Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt annimmt. Einige klassische Probleme wurden mit Hilfe von Funktionalen formuliert. Ein Beispiel ist das Brachistochronenproblem: Auf welcher Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt A zu einem Punkt B, der unterhalb, aber nicht direkt unter A liegt, benötigt ein Objekt die geringste Zeit zum Durchlaufen der Kurve? Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine den Ausdruck, der die Zeit des Durchlaufens der Kurve beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral, das die unbekannte, gesuchte Funktion, die die Kurve von A nach B beschreibt, und deren Ableitungen enthält. Das Schlüsseltheorem der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung. Sie beschreibt die Stationaritätsbedingung eines Funktionals. Wie bei der Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, wird sie aus der Analyse kleiner Änderungen um die angenommene Lösung hergeleitet. Die Variationsrechnung ist besonders in der theoretischen Physik wichtig, so z. B. im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik bzw. der Bahnbestimmung, in der Quantenmechanik in Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung und in der statistischen Physik im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie. In der Mathematik wurde die Variationsrechnung z. B. bei Bernhard Riemanns Behandlung des Dirichlet-Prinzips für harmonische Funktionen verwendet. Auch in der Steuerungs- und Regelungstheorie findet die Variationsrechnung Anwendung wenn es um die Bestimmung von Optimalreglern geht. Die Methoden der Variationsrechnung tauchen bei den Hilbertraum-Techniken, der Morse-Theorie und bei der symplektischen Geometrie auf. Der Begriff Variation wird für alle Extremal-Probleme von Funktionen verwendet. Geodäsie und Differentialgeometrie sind Bereiche der Mathematik, in denen Variationen eine Rolle spielen. Besonders am Problem der minimalen Oberflächen, die z. B. bei Seifenblasen auftreten, wurde viel gearbeitet.

Siehe auch

Kurvendiskussion, Variation der Elemente Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Theoretische Physik ja:変分法

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

1800

Ereignisse


- 18. Januar: Die Bank von Frankreich wird durch Napoleon Bonaparte geschaffen
- 14. März: Giorgio Barnaba Luigi Chiaramonti wird zum Papst gewählt und nennt sich Pius VII.
- 17. März: Beim Untergang des britischen Linienschiffs HMS Queen Charlotte (100 Kanonen) nach einem Brand an Bord vor Livorno (Italien) sterben 673 Seeleute, nur 156 können gerettet werden
- 2. April: Beethovens 1. Sinfonie wird in Wien uraufgeführt
- 14. Juni: Die Schlacht bei Marengo bringt Napoleon den entscheidenden Sieg über die Österreicher
- 5. September: Die Engländer bringen nach einer Blockade Malta in ihren Besitz, das seit 1798 von napoleonischen Einheiten besetzt war
- 1. November: US-Präsident John Adams bezieht seinen neuen Amtssitz, das spätere Weiße Haus
- 3. Dezember: Schlacht von Hohenlinden
- Wilhelm Herschel entdeckt die Infrarotstrahlung

Kultur


- 16. Januar: Uraufführung der Oper Les Deux Journées, ou Le Porteur d'eau (Der Wasserträger) von Luigi Cherubini am Théâtre Feydeau in Paris
- 2. Juni: Uraufführung der Oper Cesare in Farmacusa von Antonio Salieri am Theater am Kärntnertor in Wien
- 16. Oktober: Uraufführung der Oper Tamerlan von Johann Friedrich Reichardt an der Hofoper Berlin
- In ganz Paris, der nach London zweitgrößten Stadt Europas, gab es um 1800 nur ca. 300 Badewannen

Geboren


- 1. Januar: Filipina Brzezińska, polnische Komponistin († 1886)
- 1. Januar: Constantin Hering, gilt als Begründer der Homöopathie in Amerika († 1880)
- 1. Januar: Václav Emanuel Horák, tschechischer Komponist
- 2. Januar: Carl Friedrich Plattner, deutscher Hüttenkundler und Chemiker († 1858)
- 7. Januar: Millard Fillmore, 13. Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika († 1874)
- 7. Januar: Moritz Daniel Oppenheim, deutscher Porträt- und Historienmaler († 1882)
- 11. Januar: Ányos Jedlik, Erfinder († 1895)
- 14. Januar: Ludwig von Köchel, österreichischer Musikwissenschaftler († 1877)
- 21. Januar: Theodor Fliedner, deutscher Pfarrer († 1864)
- 22. Januar: Christoph Merian, Großgrundbesitzer und Stiftungsgründer († 1858)
- 26. Januar: Johann Gerhard Oncken, Begründer der deutschen Baptistengemeinden († 1884)
- 28. Januar: Friedrich August Stüler, preußischer Baumeister († 1865)
- 7. Februar: Theodor von Zwehl, deutscher Staatsminister († 1875)
- 11. Februar: William Fox Talbot, englischer Photopionier († 1877)
- 12. Februar: John Edward Gray, Britischer Zoologe († 1875)
- 2. März: Jewgeni Baratynski, russischer Schriftsteller († 1844)
- 10. März: Victor Aimé Huber, deutscher Sozialreformer, Reiseschriftsteller und Literaturhistoriker († 1869)
- 16. März: Ninko, 120. Kaiser von Japan († 1846)
- 15. April: James Clarke Ross, englischer Entdecker und Seefahrer († 1862)
- 16. April: Jakob Heine, Mediziner und Entdecker der spinalen Kinderlähmung († 1879)
- 9. Mai: John Brown, US-amerikanischer radikaler Abolitionist († 1859)
- 17. Mai: Carl Friedrich Zöllner, deutscher Komponist († 1860)
- 17. Mai: Ernst von Bandel, Maler und Bildhauer († 1876)
- 19. Mai: Moritz Rathenau, Kaufmann und Unternehmer († 1871)
- 30. Mai: Karl Wilhelm Feuerbach, Mathematiklehrer und Mathematiker († 1834)
- 17. Juni: Ivar Fredrik Bredal, dänischer Komponist († 1864)
- 23. Juni: Charlotte Birch-Pfeiffer, deutsche Schauspielerin und Schriftstellerin († 1868)
- 19. Juli: Juan José Flores, ecuadorianischer Staatspräsident († 1864)
- 22. Juli: Jakob Lorber, österreichischer Schriftsteller und Musiker († 1864)
- 24. Juli: Friedrich Georg Wieck, deutscher technologischer Schriftsteller und Industrieller († 1860)
- 25. Juli: Heinrich Göppert, deutscher Botaniker, Paläontologe und Professor († 1884)
- 31. Juli: Friedrich Wöhler, deutscher Chemiker († 1882)
- 20. August: Bernhard Heine, Mediziner († 1846)
- 28. August: Dietrich Wilhelm Landfermann, Pädagoge, Demokrat und Schulleiter in Duisburg († 1882)
- 12. September: Joseph Augenstein, deutscher Lokalpolitiker († 1861)
- 12. September: Pierre Charles Fournier Saint Amant, französischer Schachmeister († 1872)
- 12. September: Friedrich von Uechtritz, deutscher Dichter, Historiker und Genealoge († 1875)
- 15. September: Paul Friedrich, Großherzog von Mecklenburg-Schwerin († 1842)
- 1. Oktober: Lars Levi Laestadius, schwedischer Erweckungsprediger in Lappland († 1861)
- 2. Oktober: Felix Fürst zu Schwarzenberg, österreichischer Politiker und Diplomat († 1852)
- 2. Oktober: Nat Turner, US-amerikanischer Revolutionär († 1831)
- 12. Oktober: Eugen von Puttkamer, Deutscher Jurist († 1874)
- 18. Oktober: Sir Henry Taylor, englischer Dramatiker und Kolonialbeamter († 1886)
- 23. Oktober: Henri Milne-Edwards, französischer Naturforscher († 1885)
- 25. Oktober: Jacques Paul Migne, französischer Priester und veröffentliche theologische Werke († 1875)
- 25. Oktober: Thomas Babington Macaulay, englischer Historiker († 1859)
- 26. Oktober: Helmuth Karl Bernhard Graf von Moltke, preußischer Generalfeldmarschall († 1891)
- 6. November: Eduard Grell, deutscher Komponist und Organist († 1886)
- 18. November: John Nelson Darby, Mitbegründer der Brüdergemeinde († 1882)
- 26. November: Anton Martin Slomšek, slowenischer Geistlicher, Schriftsteller und Dichter († 1862)
- 30. November: Karl Heinrich Edmund von Berg, Forstmann und Lehrer († 1874)
- 1. Dezember: Mihály Vörösmarty, ungarischer Dichter, Redakteur und Übersetzer († 1855)
- 4. Dezember: Emil Aarestrup, dänischer Dichter († 1856)
- 22. Dezember: Julius Wilhelm Oelsner, Abgeordneter in der Frankfurter Nationalversammlung († 1862)
- 26. Dezember: Gustav Wilhelm Teschner, deutscher Komponist († 1883)
- 29. Dezember: Charles Goodyear, US-amerikanischer Chemiker († 1860)

Gestorben


- 4. Februar: Charlotte Sophie von Bentinck, adlige emanzipierte Frau des 18. Jahrhunderts (
- 1715)
- 25. April: Abel Seyler, deutscher Schauspieldirektor (
- 1730)
- 28. April: Jewstignei Ipatowitsch Fomin, russischer Komponist (
- 1761)
- 7. Mai: Niccolò Piccinni, italienischer Komponist klassischer Musik (
- 1728)
- 18. Mai: Alexander Wassiljewitsch Suworow, russischer Generalissimus (
- 1729)
- 24. Mai: Johann Christian Kestner, deutscher Jurist und Archivar, Ehemann von Charlotte Buff (
- 1741)
- 10. Juni: Johann Abraham Peter Schulz, deutscher Musiker und Komponist (
- 1747)
- 14. Juni: Jean-Baptiste Kléber, französischer General (
- 1753)
- 14. Juni: Louis-Charles-Antoine Desaix, französischer General (
- 1768)
- 20. Juni: Abraham Gotthelf Kästner, deutscher Mathematiker (
- 1719)
- 3. August: Friedrich Gilly, deutscher Architekt und Baumeister (
- 1772)
- 3. August: Carl Friedrich Christian Fasch, Musiker (
- 1736)
- 10. September: Johann Christoph von Wöllner, preussischer Staatsmann (
- 1732)
- 26. September: William Billings, US-amerikanischer Komponist (
- 1746)
- 8. Oktober: Salawat Julajew, baschkirischer Freiheitskämpfer und Dichter, Nationalheld von Baschkortostan (
- 1752)
- 28. Oktober: Artemas Ward, US-amerikanischer Generalmajor im Unabhängigkeitskrieg und Politiker (
- 1727)
- 14. November: François-Claude-Amour de Bouillé, französischer General (
- 1739)
- 28. November: Sebastian Mutschelle, deutscher Theologe (
- 1749) ko:1800년

Joseph-Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange (
- 25. Januar 1736 in Turin; † 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.

Biographie

Lagrange wird als Sohn eines Turiner Beamten geboren. Durch Spekulationen erleidet die Familie erhebliche finanzielle Verluste. Sein Vater möchte, dass er Anwalt wird, aber in der Schule interessiert sich Lagrange mehr für Mathematik, speziell die Geometrie. Mit 19 Jahren erhält er einen Lehrstuhl für Mathematik an der Königlichen Artillerieschule in Turin. Er ist Mitbegründer der Turiner Akademie (1757) wo er seine ersten wissenschaftlichen Arbeiten über Differentialgleichungen und Variationsrechnung veröffentlicht. Dem Ruf Friedrich II. von Preußen folgend geht er 1766 nach Berlin als Direktor der Berliner Akademie und Nachfolger von Leonhard Euler. Hier beschäftigt er sich mit Problemen der Astronomie, aber auch mit partiellen Differentialgleichungen sowie Fragen aus Geometrie und Algebra. Nach dem Tod Friedrichs II. (1786) geht er 1787 nach Paris als Pensionär der Akademie sc. Nach einer Phase der Depression erscheint 1788 hier sein bekanntes Werk über theoretische Physik Mécanique analytique, eine weitere Veröffentlichung behandelt das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik. Ab 1795 lehrt er für kurze Zeit an der École Normale Supérieure und tritt in das neu gegründete Institut de France ein. Ab 1797 ist er Mitglied der École Polytechnique. Mit Augustin Louis Cauchy arbeitet er auf dem Gebiet der Analysis.

Zusammenfassung seiner Leistungen

Lagrange begründete die analytische Mechanik (Lagrangefunktion). Weitere Arbeitsgebiete waren das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik (Lagrange-Punkte), die Variationsrechnung und die Theorie der komplexen Funktionen. In der Analysis ist die Lagrangesche Darstellung des Restgliedes der Taylor-Formel oder auch die Lagrangesche Multiplikatorenregel bekannt.

Siehe auch


- Satz von Lagrange
- Interpolation
- Lagrange-Formalismus

Weblinks


-
- [http://www.daviddarling.info/encyclopedia/L/Lagpoint.html Die fünf Lagrange-Punkte]
- [http://www.genealogy.ams.org/html/id.phtml?id=17864 Eintrag im Mathematikerstammbaum] Lagrange, Joseph-Louis Lagrange, Joseph-Louis Lagrange, Joseph-Louis Lagrange, Joseph-Louis Lagrange, Joseph-Louis ja:ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ

Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt). Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet. In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie: :y = 2x + 3 oder y = x2. Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite Eigenschaft: Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet. Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung. Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt: :Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat: :
- f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt. :
- zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist. Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und definiert: :Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt. Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen


- f\colon A \to B
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f \subseteq A \times B,
- : "Funktion f von A nach B"
- f\colon x \mapsto f(x)
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) \in f.
- : "x wird abgebildet auf f von x"
- : "x wird f von x zugeordnet"
- : "y ist f von x"
- : "y ist das Bild von x unter der Abbildung f". Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich genannt, die Wertemenge B auch Wertebereich. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch "x-Werte", die Elemente von B, heißen salopp auch "y-Werte". Funktionswerte heißen dagegen nur die Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f:R->R kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y=f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionenplotter gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: f: \mathbb \to \mathbb,\;\; x \mapsto f(x)=x^2 Die Nachfolger-Funktion: s:\mathbb \to \mathbb ,\;\; x \mapsto s(x)=x+1

Wichtige Begriffe


- Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
- Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) =
- Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f -1(y) = . Man sagt auch Faser von y.
- Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f -1(M) = .
- Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
- Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
- Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften


- Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
- Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
- Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat.
- Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind


- Beschränktheit
- Differenzierbarkeit
- Glattheit
- Integrierbarkeit
- Konvergenz
- Monotonie
- Stetigkeit
- Konvexität
- Holomorphie
- Homogenität

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

analytische Funktion
- Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.
  - homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  - allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
  - Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x2 + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
  - Potenzfunktion
  - Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = an·xn + an-1·xn-1 + ... + a1·x + a0 oder
f(x) = \sum_^n a_i\cdot x^i
  - Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
  - Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
- Transzendente Funktionen Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und der Wurzelfunktion besteht. Hierzu zählen:
  - Exponentialfunktion
  - Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
  - Logarithmus
  - Kreis- und Hyperbelfunktionen
    - Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
    - Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
    - Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccosec
    - Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
- Spezielle Funktionen
  - Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
  - Elliptische Funktion
  - Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
  - Bessel-Funktion
  - Legendre-Polynome
  - Kugelflächenfunktionen
  - Harmonische Funktion
  - Hurwitzpolynom
- sonstige Funktionen
  - Logistische Funktion
  - Gaußsche Glockenkurve
  - Lorentzkurve
  - Voigt-Profil

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind


- Betragsfunktion
- Maximumfunktion und Minimumfunktion
- Gaußsche Ganzzahlfunktion
- Heaviside-Funktion

Weitere Funktionen


- Charakteristische Funktion
- Vorzeichenfunktion
- Primitiv-rekursive Funktion
- Ackermannfunktion
- Phifunktion
- Zahlentheoretische Funktion
- Deltafunktion
- Fehlerfunktion
- Lokal konstante Funktion

Siehe auch


- Funktionsschar
- Funktion höherer Ordnung
- Mathematik für die Schule
- Satz von der impliziten Funktion
- Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes Kategorie:Analysis Kategorie:Mengenlehre ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Maximum (Mathematik)

Das Maximum ist eine mathematische Funktion, deren Funktionswert jener Parameter ist, der im Vergleich zu anderen Parameter am größten ist. Die Maximum-Funktion ist somit nur für Parameter definiert, die eine totale Ordnung haben. Die Parameter können auch alle Werte einer Funktion sein. Ist dies der Fall, dann ist der Rückgabewert das globale Maximum der Funktion. Bei Funktionen spricht man auch von einem lokalen Maximum an einer Stelle, die das Maximum eines Bereiches der Funktion, aber nicht der gesamten Funktion ist. Die Maxima und Minima der Funktion werden alle als Extremwerte bezeichnet. Nicht zu verwechseln ist das Maximum mit dem Supremum, das die kleinste obere Schranke ist, also nicht notwendig zur Menge gehört, von der das Maximum bestimmt werden soll.

Beispiele

\max(\) = 3 \max(\) existiert nicht \sup(\) = 0 \max(a,b) = \frac+\frac \forall a,b \in \mathbb Siehe auch: Minimum (Mathematik), Kurvendiskussion Kategorie:Analysis

Sattelpunkt (Mathematik)

Ein Sattelpunkt, auch Terrassenpunkt genannt, ist ein Spezialfall des Wendepunktes, bei dem die Steigung (d.h. die 1. Ableitung) gleich 0 ist. Wendepunkt Als Sattelpunkte bezeichnet man Punkte x_0, in denen der Gradient \nabla \vec einer Funktion \vec:\mathbb^n\rightarrow\mathbb gleich dem Nullvektor ist, aber dieser Punkt kein Extrempunkt (siehe Kurvendiskussion) ist. Mathematisch gesprochen: Sei \epsilon>0, dann existiert ein x_1, x_2 mit ||x_0-x_1||<\epsilon und ||x_0-x_2||<\epsilon, so dass \vec>\vec und zugleich \vec<\vec. Anders ausgedrückt: Falls gilt: f(x_W)=0 \wedge f(x_W) \neq 0 \wedge f'(x_W)=0 dann ist x_W ein Sattelpunkt. (Hinreichende, nicht notwendige Bedingung.) Ums mal verständlich auszudrücken: Beim Sattelpunkt ist die Erste und Zweite Ableitung gleich 0. Ausnahmen gibts bei Funktionen, die 7,8 oder mehr Ableitungen haben. Bei der Extremwertbestimmung kommt es oft vor, dass die Erste und die Zweite Ableitung gleich 0 ist, es also keinen Vorzeichenwechsel gibt und man nicht sagen kann f kleiner oder größer 0. Eine dreifache Nullstelle ist ebenfalls ein Sattelpunkt, nur dass er dann auf der x-Achse liegt. Siehe auch: Kurvendiskussion Kategorie:Analysis

Theorem

Ein Theorem (von griechisch theorema, "das Angeschaute") ist ein wissenschaftlicher Lehrsatz oder Grundsatz. Innerhalb eines wissenschaftlichen Systems ist ein Theorem eine Aussage, die logisch abgeleitet aus den Axiomen eines Systems durch Anwendung eines Beweises gewonnen und bewiesen wurde. Dabei wird diese Aussage aber auch manchmal als Lehrsatz verstanden. In der Mathematik ist ein Theorem oder Satz innerhalb einer mathematischen Theorie (die auf Axiomen und Deduktionsregeln basiert) eine gültige Aussage, d.h. sie kann durch einen mathematischen Beweis aus den Axiomen durch die Deduktionsregeln der Theorie gefolgert werden. Dies kann wie folgt notiert werden: \phi_1, \ldots, \phi_n \vdash \psi , wobei \ \phi_i die Prämissen oder Axiome sind, aus denen das Theorem \ \psi gefolgert wird. Die Begriffszuordnung, welches Theorem und welches Axiom in einem System ist, lässt sich nicht immer eindeutig festlegen, denn dies hängt vom gegebenen System mit seiner Struktur ab. Bei der Axiomatisierung eines Systems muss zur Festlegung von Axiomen die Menge der Aussagen bestimmt werden, die nach den Regeln zur Bildung eines Axiomensystems notwendig und hinreichend sind. Nach erfolgter Festlegung dieser Aussagenmenge ergibt sich die Möglichkeit, alle anderen Aussagen bzw. Theoreme zu diesem System aus den gewonnenen Axiomen logisch abzuleiten und zu beweisen. Somit ist klar, dass es keine apriori gegebenen Axiome bzw. Theoreme in einem System geben kann. In der Praxis der Veröffentlichungen kommt auch die Erscheinung vor, dass der Begriff des Theorems nicht im herkömmlichen Sinne verwendet wird. Es tritt nämlich auf, dass nicht aus Axiomen logisch abgeleitete und bewiesene Aussagen als Theoreme bezeichnet werden, sondern beliebige Lehrsätze, die nur z.B. innerhalb einer experimentellen Prüfung eines Systems gewonnen wurden.

Anekdote

Es gibt einen französischen Film namens Le Thé au Harem d'Archimède (Tee im Harem des Archimedes), womit eigentlich der Satz des Archimedes (Théorème d'Archimède) gemeint war.

Siehe auch


-
- Satz (Mathematik)
- Liste mathematischer Sätze
- Tautologie (Logik)

Weblinks


- [http://personal.stevens.edu/~nkahl/Top100Theorems.html The Hundred Greatest Theorems] Kategorie:Logik ja:定理

Theoretische Physik

Die Theoretische Physik beschreibt Gesetzmäßigkeiten der Physik mit Hilfe von Theorien. Eine physikalische Theorie ist dabei nicht einfach eine Zusammenfassung der Ergebnisse vergangener Experimente, sondern liefert eine durchgängige Beschreibung eines Teilbereichs der Wirklichkeit, mit deren Hilfe die Ergebnisse von neuen, noch nicht durchgeführten Experimenten vorhergesagt werden können. Die Experimentalphysik überprüft dann wiederum die Theorie, indem entsprechende Experimente durchgeführt werden. Obwohl die Theorien mehr sind als nur Folgerungen aus den Experimenten, haben letztlich die Experimente das letzte Wort: Wird eine Theorie beim experimentellen Test falsifiziert, dann muss sie verworfen werden. Fast immer haben grundlegende physikalische Theorien auch entscheidenden Einfluss auf unser Weltbild.

Notwendigkeit der Theoriefindung

Für die Formulierung neuer Theorien gibt es mehrere Gründe:
- Das Problem wird zwar im Prinzip durch die bestehenden Theorien beschrieben, ist aber zu kompliziert, um es praktisch zu berechnen. ::Das dürfte bei weitem der häufigste Fall sein. In so einem Fall wird keine neue fundamentale Theorie, sondern eine Näherungstheorie aufgestellt. Beispielsweise wird in der Festkörperphysik der große, aber endliche Festkörper durch einen unendlichen Festkörper genähert. Das vereinfacht die Gleichungen erheblich und führt für makroskopische Körper zu vernachlässigbaren Fehlern. Sind diese Fehler nicht mehr vernachlässigbar, so können sie meist durch störungstheoretische Methoden berücksichtigt werden.
- Es existieren experimentelle Daten, die nicht von den vorhandenen Theorien erklärt werden können. ::Dies ist der häufigste Anlass für eine neue fundamentale Theorie. Beispielsweise entstand die Quantenmechanik, um die unverstandenen Phänomene der Hohlraumstrahlung und später des Photoeffekts und der Spektrallinien von Atomen zu erklären. ::Die Theorien reichen allerdings generell in ihrer Erklärungskraft und ihren Folgerungen wesentlich über die Probleme hinaus, wegen denen sie entwickelt wurden. So erklärt die Quantenmechanik, warum die Materie fest ist und warum die chemischen Elemente sich so und nicht anders verhalten, sie ist Grundlage der Halbleiterphysik und damit der gesamten modernen Elektronik, und sie hat unser Weltbild grundlegend revolutioniert (so grundlegend, dass bis heute keine Einigkeit über die Folgerungen für unser Weltbild besteht).
- Es existieren mehrere Theorien, die sich in bisherigen Experimenten bewährt haben, die aber nicht zusammenpassen. ::In diesem Fall wird nach einer Theorie gesucht, die beide vorherigen Theorien als Spezialfälle umfasst. Dies war z.B. bei Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie der Fall: Newtons Gravitationstheorie (mit instantaner Fernwirkung) passte nicht zur speziellen Relativitätstheorie (mit der Relativität der Gleichzeitigkeit und der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit als Höchstgeschwindigkeit). Die Allgemeine Relativitätstheorie liefert sowohl die spezielle Relativitätstheorie als Spezialfall verschwindender Gravitation, als auch die Newtonsche Gravitationstheorie als Spezialfall geringer Gravitation und gleichzeitig geringer Geschwindigkeiten. ::Derzeit wird nach der Vereinheitlichung der beiden großen Theorien des 20. Jahrhunderts gesucht: Der allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik.
- Die aktuelle Theorie kann zwar im Prinzip die beobachteten Phänomene beschreiben, aber nur, indem man sehr viele Beobachtungsdaten hineinsteckt. ::Ziel der neuen Theorie ist es dann, mit weniger freien Parametern auszukommen. Je mehr Parameter man hineinstecken muss, desto geringer ist die Aussagekraft der Theorie. Extremfall ist eine Theorie, in die man so viele Parameter hineinsteckt, wie man Daten aus ihr erhält; diese Theorie hat überhaupt keine Aussagekraft mehr, da sie problemlos an fast beliebige Daten angepasst werden kann). ::Paradebeispiel war der Übergang vom geozentrischen zum heliozentrischen Weltbild. Die Geozentriker konnten im Prinzip die Planetenbahnen beschreiben, nur mussten sie mehr und mehr Epizykeln (und damit mehr und mehr Beobachtungsparameter) hineinstecken. Kepler hingegen konnte mit seinen heliozentrischen Ellipsen dieselbe Planetenbewegung mit nur einer Handvoll Parametern (pro Planet jeweils die Lage der Ellipse und die Größe der Halbachsen) beschreiben.

Wichtige Teilgebiete


- Klassische Mechanik
- Optik
- Akustik
- Thermodynamik
- Statistische Mechanik
- Elektromagnetismus
- Quantenmechanik
- Relativitätstheorie
- Quantenfeldtheorie
- Mathematische Physik
- theoretische Atomphysik
- theoretische Festkörperphysik
- theoretische Kernphysik
- theoretische Plasmaphysik
- Stringtheorie Daneben gibt es interdisziplinäre Forschung mit Beteiligung der Theoretischen Physik, etwa die Physikalische Chemie oder Elemente der Chaostheorie.

Berühmte theoretische Physiker

(Siehe auch: Physiker mit dem dortigen ausführlichen Index)
- Sir Isaac Newton (Grundlagen der Klassischen Mechanik)
- James Clerk Maxwell (Elektrodynamik)
- Albert Einstein (photoelektrischer Effekt; Nobelpreis 1921)
- Niels Bohr (Atommodell; Nobelpreis 1922)
- Max Planck (Nobelpreis 1918), Erwin Schrödinger (Nobelpreis 1933), Werner Heisenberg (Nobelpreis 1932) (alle Quantenmechanik)
- Richard P. Feynman (Entwicklung der Quantenelektrodynamik, Nobelpreis 1965)
- Leon N. Cooper (Theorie der Supraleitung; Nobelpreis 1972)

Literatur


- Walter Greiner: Theoretische Physik, Harri Deutsch Verlag
- Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik, Wiley-VCH
- Wolfgang Nolting: Grundkurs: Theoretische Physik, Springer Verlag
- Eckhard Rebhan: Theoretische Physik Band 1, Spektrum Akademischer Verlag, 1999, ISBN 3-8274-0246-8
- ders.: Theoretische Physik Band 2, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-0247-6
- Horst Stöcker: "Taschenbuch der Physik", Deutsch (Harri) 2004, ISBN 3817117205
- Torsten Fliessbach: Theoretische Physik, Spektrum Akademischer Verlag

Siehe auch


- Portal:Physik
- Wichtige Gleichungen der Physik

Weblinks

Kategorie:Physik Kategorie:Theoretische Physik ja:理論物理学 ko:이론물리학

Klassische Mechanik

Die Klassische Mechanik (oft auch Newtonsche Mechanik, nach Isaac Newton, der wichtige fundamentale Beiträge zu deren Verständnis lieferte) ist die Physik sich bewegender Objekte der alltäglichen Art. Beispiele von Problemen, die mit klassischer Mechanik gut beschrieben werden können sind der freie Fall von Objekten, Planetenbewegungen oder Bewegungen Starrer Körper (z.B. Kreisel). Die klassische Mechanik versagt bei Problemen, die relativistische oder quantenmechanische Effekte zeigen. Die klassische Mechanik lässt sich zum überwiegenden Teil aus den drei Newtonschen Axiomen ableiten. Wenn wir folgende Abkürzungen verwenden (fett heißt vektorielle Größe, SI-Einheit in Klammern):
- t Zeit (Sekunde)
- m Masse eines Körpers (Kilogramm)
- \Delta s zurückgelegte Strecke (Meter)(Oft auch einfach x genannt)
- v Geschwindigkeit (Meter/Sekunde)
- a Beschleunigung (Meter/Sekunde²)
- F Kraft (Newton=Kilogramm
- Meter/Sekunde²) können wir einige Zusammenhänge ganz axiomatisch aufbauen. Was heißt Geschwindigkeit eigentlich? Bei einer konstanten Geschwindigkeit können wir eine bestimmte Zeit warten und die zurückgelegte Strecke messen. Dann hat der Körper die Geschwindigkeit :v=\frac Wenn gleichzeitig eine Kraft auf den Körper wirkt, und sich seine Geschwindigkeit dadurch zeitlich verändert, bekommen wir damit jedoch nur eine Art Durchschnittsgeschwindigkeit! Was heißt nun Geschwindigkeit? Hier hat Newton seinen großen Durchbruch gehabt: er definierte die Ableitung einer Größe :\dot=v=\frac welche die Geschwindigkeit für jeden beliebigen Zeitpunkt definiert. Hierbei wird das untersuchte Zeitintervall immer weiter verkleinert und die entsprechende Strecke gemessen (ein Limes t->0). Die weitere Diskussion dieser Tatsache soll der Analysis überlassen bleiben, hingegen definiert die Ableitung der Ortsfunktion zu jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit: :v(t)=\frac Analoges gilt für die Beschleunigung, definiert als Änderung der Geschwindigkeit: :\ddot(t) = \dot(t)=a(t) Nun können wir die zwei ersten Newtonschen Gleichungen so schreiben:
- F(t)=0\Rightarrow\frac=0 (oder v(t) = konstant)
- F(t)=m \cdot a(t) = Letztere Gleichung definiert eigentlich den Begriff Masse, genauer die Träge Masse, welche als Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung die Trägheit des Körpers bestimmt. Allgemein bleibt zu erwähnen, dass in der klassischen Mechanik weiterhin nur Kräfte betrachtet werden, die von Ort und der Geschwindigkeit abhängen, also
- \vec=\vec(\vec(t),\dot(t),t) Dies ist die Grundlage und ein Beispiel der Arbeitsweise in der klassischen Mechanik. Weitere Stichworte der klassischen Mechanik sind
- Statik: Untersuchung ruhender Systeme
- Dynamik: Newtonsche Axiome
- Kinematik: Untersuchung bewegter Körper
- Schwingungslehre
- konservative Systeme
- Lagrange-Formalismus
- Hamilton-Formalismus
- Symmetrien und Erhaltungssätze

Literatur


- Wolfgang Nolting: Grundkurs: Theoretische Physik Band 1. Springer Verlag
- Frank Linhard: Klassische Mechanik, Fischer kompakt, 2002 (Inhaltsverzeichnis, Leseprobe, Links und Glossar siehe hier [http://www.fischer-kompakt.de/inhalt/189003])
- F.Scheck: Mechanik: von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos, Springer Verlag 1988
- Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1, Springer Verlag

Siehe auch

Portal:Physik Kategorie:Klassische Mechanik ja:古典力学

Bahnbestimmung

Unter Bahnbestimmung versteht man die Berechnung der Umlaufbahn eines Himmelskörpers oder Satelliten aus den Messresultaten irdischer oder im Weltraum befindlicher Observatorien. Für diese Standardaufgabe der Himmelsmechanik reicht es nicht aus, nur die 6 Kepler'schen Bahnelemente zu ermitteln. Eine exakte Bahnbestimmung muss außer der Wirkung der Sonne auch die Bahnstörungen durch die Gravitationskräfte anderer größerer Massen berücksichtigen. Hinzu kommt bereits bei der Erfassung der Beobachtungsdaten das Problem, dass sich alle Messungen auf einen scheinbar bewegten Hintergrund beziehen.

Geschichtliches

Seit mindestens 5000 Jahren beschäftigen sich Astronomen und Mathematiker damit, die Bahnen der Gestirne im Voraus zu berechnen. Die rätselhaften jährlichen Planetenschleifen stellten die Sternkundigen in Mesopotamien und anderswo vor ein Rätsel, das sie auf der Basis des damaligen Erkenntnisstandes nur durch Eingriffe von Gottheiten lösen konnten. Andere Erklärungen sind nicht überliefert.

Frühe Vermutungen und Erklärungsversuche

In der griechischen Antike fand man dann geometrisch-mathematische Modelle, welche die scheinbar komplizierten Planetenbahnen erklären konnten. Man löste das Problem mit den im Sinn von Aristoteles rundesten Geometrien, die es gibt - mit Kreisen und auf ihnen laufenden zusätzlichen Kreisen, den Epizykeln. Danach sollten sich die damals bekannten Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn, aber auch Sonne und Mond auf idealen Bahnen um die Erde bewegen, nämlich auf Kreisen, denen jeweils ein Epizykel aufgesetzt ist. Wenn die, wie man heute weiß, elliptischen Planetenbahnen mit einem Epizykel nicht gut genug darstellbar waren, setzte man seit Ptolemäus einfach einen weiteren Epizykel auf den ersten. Dies geschah bei Merkur und Mars mehrfach (aus heutiger Sicht fast eine Fourieranalyse). All das erfolgte zweidimensional auf dem Hintergrund einer Kugelschale, der Himmelskugel.

Brahe, Kepler, Newton

Die sehr exakten Beobachtungen Tycho Brahes (speziell am Mars), die noch ohne optische Hilfsmittel erfolgten, ermöglichten es Johannes Kepler, seine drei Keplerschen Gesetze zu finden. Damit wurde endgültig das räumliche Modell des Planetensystems, das auf Nikolaus Kopernikus zurückgeht, etabliert. Durch den Übergang von 2D auf 3D konnte man nun die Bahnen der großen Planeten gut beschreiben. Die Bahnen von neuen Himmelskörpern konnten aber damit noch nicht berechnet werden. 1687, fast hundert Jahre später, gelang es Isaac Newton, aufbauend auf den Erkenntnissen Keplers sein Gravitationsgesetz aufzustellen. Damit war zwar die Ursache für die Bewegung der Himmelskörper erkannt, doch an mathematischen Methoden für die konkrete Berechnung von Bahnelementen fehlte es weiterhin.

Die analytische Bahnbestimmung

Vollständig wurde das Zweikörperproblem (Bewegung zweier Körper umeinander) um 1800 von Laplace und Gauß gelöst. Um aus drei gemessenen Positionen z.B. eines neuen Kometen seine Bahnelemente zu bestimmen, fanden sie fast gleichzeitig die Lösung auf ganz verschiedenen Wegen:
- Auf Pierre-Simon Laplace geht die direkte Methode zurück, welche die Kepler-Elemente auf der linken Seite von - allerdings äußerst komplizierten - Gleichungen darstellt.
- Carl Friedrich Gauß erdachte die indirekte Methode, die mit kleinen Änderungen an Näherungswerten (vor allem der räumlichen Distanzen) operiert. Sie ist durch ihre iterative Vorgangsweite etwas einfacher lösbar. Mit dieser Methode gelang es Gauß, die Bahn des verlorenen Planetoiden Ceres zu berechnen, was zu dessen sensationeller Wiederentdeckung führte. Noch heute, im Zeitalter der Computer, wird diese Methode angewandt. Sie läuft auf eine numerische Integration hinaus und erlaubt es, alle bekannten Kräfte ohne großen Mehraufwand in das physikalisch-mathematische Modell einzubauen. Wichtige theoretische Beiträge zur Bahnbestimmung wurden auch von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange geleistet. Die erste verlässliche Bestimmung einer stark elliptischen Kometenbahn gelang um 1780 dem späteren Asteroidenentdecker Wilhelm Olbers.

Bahnstörungen

Um die de facto immer vorhandenen Bahnstörungen durch dritte Körper berechnen zu können, verfiel man nach 1800 (?) auf das Modell der oskulierenden Bahnen. Wenn die Ellipsenbahn eines Himmelskörpers allzu variabel war, wurde die momentan gültige als Bezugssystem für die nächste genommen, die nach einigen Stunden (Tagen, Wochen..) aus der ersten hervorging. Die Abweichungen von der oskulierenden (anschmiegenden) Ellipse können als Funktion der störenden Kraft berechnet werden. Damit war die Methode

Variation der Elemente

geboren. Sie erlaubte mit damaligen Rechenhilfsmitteln, eine beliebig genaue Bahnbestimmung, wenn nur der Aufwand entsprechend hoch getrieben wurde. Ihre konsequente Anwendung führte 1846 zur Entdeckung des Neptun und stellte - im Zeitalter der Aufklärung - einen wahren Triumph der Himmelsmechanik dar. Neptuns vermutliche Position war aus kleinen Bahnstörungen des Uranus berechnet worden, und er fand sich kaum 1° davon entfernt.

Bahnbestimmung heute: Methoden und Anwendungen

Ausgleichsrechnung und Kollokation


- Tilgung kleiner Widersprüche bei überbestimmten Systemen (mehr als 3 Beobachtungen des neuen Himmelskörpers)
  - Methode der kleinsten Quadrate (siehe auch Gauß)
- Einführung von Laufzeitmessungen
  - Erweiterte Modelle für verschiedene Beobachtungstypen und Genauigkeiten usw.

Behandlung des Dreikörperproblems


- Bahnstörungen durch Jupiter
  - Lagrange-Punkte und die Trojaner
  - Asteroidenbahnen und die Kirkwood-Lücken
- Herkunft von Kometen und Planetoiden durch Rückrechnung von Bahnstörungen
- Bahnbestimmung von Raumsonden
  - 3D und 4D Bahnen, Voyager etc.
  - Geostationäre Instabilität und Bahnmanöver, Manöverkritik
- Gravitationsschleuder und Fly-by-Manöver
- Gradiometrie
  - Erforschung des Erdschwerefeldes aus speziell verlaufenden Satellitenbahnen (ESA, Grace, GOCE)

Theorie Chaotischer Bahnen

Viele Bahnen, besonders von Kleinplaneten, verlaufen über Jahrhunderte "regulär", um dann plötzlich in eine Richtung abzudriften. Bis heute sind die Ursachen nicht ganz geklärt. Die plötzliche Änderung von Bahnen berührt die Kosmologie, ist aber auch fast eine philosophische Frage.

Weblinks

Voraus- und Zurückrechnung (Ephemeriden..) über Jahrhunderte und Jahrmillionen:
- http://www.physik.uni-bremen.de/cd_sites/gk_theo_de.html Kategorie:Himmelsmechanik

Prinzip der kleinsten Wirkung

Das Prinzip der kleinsten Wirkung (eine Verallgemeinerung des Hamilton-Prinzips) ist ein Postulat mit grundlegender Bedeutung für viele Teilbereiche der Theoretischen Physik. Es wurde erstmals von Pierre-Louis Moreau de Maupertuis formuliert. Die korrektere Formulierung ist das Prinzip der stationären Wirkung, nach der das Wirkungsintegral stationär ist.

Formelle Definition

Das Prinzip besagt, dass für ein physikalisches System mit einer Lagrange-Funktion L das Wirkungsintegral : S[q] = \int \, L \, dt minimal (oder stationär) sein muss. Die Integration erfolgt dabei über einen festen Zeitbereich und für genau eine formell mögliche Realisierung des Systems, q genannt. Von allen möglichen Realisierungen q finden in der Natur nach dem Prinzip der stationären Wirkung genau solche q_ statt, bei denen S[q_] stationär ist. Die mathematisch genaue Formulierung verlangt, dass die Variation des Wirkungssintegrals Null sein muss: : \delta S = 0 Hierauf folgt, dass das Wirkungsintegral ein Minimum, ein Maximum oder einen Sattelpunkt annimmt. Etwas allgemeiner ausgedrückt werden mit dem Prinzip der stationären Wirkung Realisierungen ausgezeichnet, in deren Umgebung sich das physikalische System praktisch nicht verändert.

Anwendungen

Das Prinzip der stationären Wirkung ist eines der fundamentalsten Prinzipien der Natur. Eine direkte Anwendung ist beispielsweise das Prinzip von Fermat, nach dem ein Lichtstrahl stets den Weg mit der kürzesten Eigenzeit wählt, womit das Brechungs- und Reflexionsgesetz der geometrischen Optik erfüllt werden. Das Prinzip von Fermat war eine der Grundideen (Analogie zwischen Mechanik und geometrischer Optik) für die Hamilton-Jacobi-Theorie der klassischen theoretischen Physik und mithin für eine entsprechende Formulierung auch in der Quantenmechanik (siehe dazu etwa Eikonalfunktion der geometrischen Optik). Ein weiteres Beispiel für die Bedeutung des Hamilton-Prinzips ist der Aufbau der Elemente, nach dem die Atome so aufgebaut werden, dass sie stets die niedrigste Grundzustandsenergie einnehmen. Zusammen mit dem Pauli-Prinzip lässt sich so der Aufbau des Periodensystems der Elemente zumindest in grober Näherung verstehen. Variationsprinzipien begründen den Großteil aller heute verwendeten Differentialgleichungen in der Physik, auch und gerade in modernen Eichfeldtheorien (siehe dazu Elementarteilchenphysik und Standardmodell). Die verwendeten mathematischen Methoden sind das Variationsprinzip und die Funktionalanalysis. Kategorie:Theoretische Physik

Statistische Physik

Die Statistische Physik beschäftigt sich mit der Beschreibung von Naturphänomenen deren Grundgesetze statistisch begründet sind. Sie ist eine physikalische Disziplin, deren Basis mathematische Sätze (zum Beispiel das Gesetz der großen Zahlen) und einige wenige Hypothesen bilden (zum Beipiel die Ergodenhypothese) und damit sehr fundamental. Statistische Naturgesetze können überall dort formuliert werden, wo eine beobachtbare Größe eines Systems statistisch abhängig von den Eigenschaften seiner Subsysteme ist. Es ist dabei nicht praktikabel oder gar unmöglich, die Eigenschaften aller Subsysteme zu ermitteln, um daraus auf den Wert der zu beobachtenden Größe zu schließen.

Das Wesen statistischer Naturgesetze

Statistische Gesetze formulieren Wahrscheinlichkeitsaussagen. In realen Szenarien der statistischen Physik gibt es aber ein derart ausgeprägtes Maximum für das Eintreffen des am meisten wahrscheinlichen Ergebnisses, dass für alle praktischen Belange nur dieses wahrscheinlichste Ereignis berücksichtigt werden muss. Beispiel: beobachtet wird einen Billardtisch auf dem sich 2M Kugeln befinden, die sich statistisch regellos über den Tisch bewegen. Gemessen werden soll die Dichte der Kugeln. Als Maß für die Dichte wird dabei ein beliebiger Ausschnitt des Tisches beobachtet auf dem die Kugeln gezählt werden, das Beispiel bezieht sich auf die rechte Tischhälfte. Das einfachste Modell geht dann davon aus, dass sich jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit rechts oder links der Tischhälfte aufhält.
- Das so beschriebene Model kennt 22M Zustände. Wenn jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit rechts oder links der Tischhälfte sein kann, dann heißt das keiner dieser Zustände wird vom System bevorzugt, alle Zustände werden gleichwahrscheinlich realisiert.
- Es gibt genau eine mögliche Verteilung, bei der sich alle 2M Kugeln in der rechten Tischhälfte befinden, damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich alle Kugeln in der rechten Tischhälfte befinden astronomisch gering und für alle praktischen Belange eine unmögliche Verteilung.
- Die Zahl der möglichen Verteilungen dafür, dass sich auf beiden Tischhälften die gleiche Zahl von Kugeln befindet ist (2M)!/M!. Die Zahl der möglichen Verteilungen dafür, dass sich auf der beobachteten Tischhälfte zwei Kugeln mehr als auf der anderen befinden ist (2M)!/(M+1)!. Damit ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten für eine perfekte Gleichverteilung und das Abweichen davon um eine Kugel (M+1)!/M! = M+1. Eine Abweichung von der perfekten Gleichverteilung ist also für große Systeme ein selten auftretendes Ereignis und muss nicht berücksichtigt werden. Im beschriebenen Modell mit sehr vielen Kugeln ließe sich ein Gesetz formulieren, dass die Gleichverteilung als einzig beobachtbare Verteilung postuliert. Dieses Gesetzt ist formal falsch, aber für statistische Aussagen in realen Szenarien praktisch richtig.

Formulierung statistischer Naturgesetze

Bei der Formulierung statistischer Naturgesetze muss man zunächst das zu beschreibende System über Erhaltungsgrößen eingrenzen. Besitzt das System die Erhaltungsgröße E, dann wird postuliert, dass alle Zustände, die ohne Verletzung dieser Erhaltungsgröße erreichbar sind, gleichwahrscheinlich realisiert werden (Ergodizität). Als nächstes ermittelt man über physikalischer Modelle die Zahl der möglichen Zustände g in Abhängigkeit von dieser Erhaltungsgröße: g=g(E). Bringt man zwei Systeme S1 und S2 in Wechselwirkung und ermöglicht den Austausch der Erhaltungsgrößen E1 und E2, so gilt für die Zahl der Zustände des Gesamtsystems S: g=g_1\,g_2 Das Gesamtsystem hat eine wahrscheinlichste Verteilung bei der gilt: 0=g'=\frac\,g_2+\frac\,g_1 Wegen der Erhaltungseigenschaft von E=E1+E2=konstant gilt dE=dE1=-dE2 und \frac\frac=\frac\frac oder \frac\ln=\frac\ln

Entropie

Die Größe s = ln g wird als die Entropie des Systems bezeichnet. Sie ist, bis auf einen Vorfaktor (die Boltzmannkonstante kB), identisch mit der thermodynamischen Entropie. Subsysteme si werden im Kontakt solange die Erhaltungsgröße E über ihre Kontaktgrenzen austauschen, bis paarweise gilt \frac = \frac Die Größen si und deren funktionale Abhängigkeit von E bestimmen damit vollständig den statistischen Gleichgewichtszustand des Gesamtsystems. Zustände außerhalb dieses Gleichgewichtszustandes sind zwar möglich, aber für hinreichend große Systeme so unwahrscheinlich, dass sie als praktisch unmöglich angesehen werden können.

Temperatur

Betrachtet wird ein System aus zwei Subsystemen, bei dem ein System viel größer als das andere ist. Das große System S wird die Erhaltungsgröße E mit dem kleinen System s austausc